ОКРУЖНОСТЬ И КРУГ. ЦИЛИНДР.
§ 73. ВЗАИМНОЕ ПОЛОЖЕНИЕ ПРЯМОЙ И ОКРУЖНОСТИ.
1. Возможны следующие три случая взаимного положения прямой и окружности:
Прямая, имеющая с окружностью только одну общую точку, называется касательной к окружности.
3) Прямая имеет с окружностью две общие точки (черт. 319). Такая прямая называется секущей .
2. Теоремы о касательной к окружности.
Теорема 1. Прямая, перпендикулярная к радиусу в конечной его точке, лежащей на окружности, является касательной к окружности.
Пусть ОМ- радиус окружности, СD_|_OМ (черт. 318).
Требуется доказать, что СD- касательная к окружности.
Доказательство. Если ОМ _|_СD, то расстояние от центра О до любой другой точки прямой СD больше радиуса ОМ, следовательно, всякая точка прямой СD, кроме точки М, лежит вне круга. Поэтому точка М - единственная общая точка прямой СD и окружности, а это означает, что СD- касательная к окружности.
Теорема 2 (обратная). Касательная к окружности перпендикулярна к радиусу этой окружности, проведённому в точку касания.
Пусть прямая СD - касательная к окружности и М - точка касания.
Требуется доказать, что СD _|_ ОМ (черт. 318).
Доказательство. Если прямая СD касается окружности в точке М, то всякая другая точка прямой СD будет находиться вне круга, ограниченного этой окружностью, следовательно, расстояние от каждой точки прямой СD до центра, кроме точки М, будет больше расстояния ОМ - радиуса окружности. Значит, этот радиус есть наименьший из отрезков, соединяющих точку О с точками прямой СD, поэтому ОМ _|_ СD.
3. Свойство дуг, заключённых между касательной и параллельной ей хордой.
Теорема. Дуги, заключённые между касательной и параллельной ей хордой, равны.
Пусть касательная АВ и хорда СD параллельны. Точка Е - точка касания прямой АВ с окружностью О (черт. 320).
Требуется доказать, что СЕ = ЕD.
Для доказательства соединим точку касания Е с центром круга.
ОЕ _|_АВ, а так как СD || АВ, то ОЕ _|_ СD, а перпендикуляр к хорде, проведённый из центра той же окружности, делит стягиваемую ею дугу пополам.
Следовательно, СЕ = ЕD.
4. Построение касательной к окружности.
Задача. Построить прямую, касательную к окружности в данной её точке.
Дана окружность О, требуется провести прямую, касательную к этой окружности в точке М (черт. 321).
Проведём радиус ОМ и через конечную его точку М проведём прямую КМ, перпендикулярную к радиусу. По доказанному ранее прямая КМ будет касательной к окружности.
Вспомним случаи взаимного расположения прямой и окружности.
Задана окружность с центром О и радиусом r. Прямая Р, расстояние от центра до прямой, то есть перпендикуляр ОМ, равна d.
Случай 1 - расстояние от центра окружности до прямой меньше радиуса окружности:
Мы доказали, что в случае, когда расстояние d меньше радиуса окружности r, прямая и окружность имеют только две общие точки (рис. 1).
Рис. 1. Иллюстрация к случаю 1
Случай второй - расстояние от центра окружности до прямой равно радиусу окружности:
Мы доказали, что в данном случае общая точка единственная (рис. 2).
Рис. 2. Иллюстрация к случаю 2
Случай 3 - расстояние от центра окружности до прямой больше радиуса окружности:
Мы доказали, что в данном случае окружность и прямая не имеют общих точек (рис. 3).
Рис. 3. Иллюстрация к случаю 3
На данном уроке нас интересует второй случай, когда прямая и окружность имеют единственную общую точку.
Определение:
Прямая, имеющая с окружностью единственную общую точку, называется касательной к окружности, общая точка называется точкой касания прямой и окружности.
Прямая р - касательная, точка А - точка касания (рис. 4).
Рис. 4. Касательная
Теорема:
Касательная к окружности перпендикулярна радиусу, проведенному в точку касания (рис. 5).
Рис. 5. Иллюстрация к теореме
Доказательство:
От противного - пусть ОА не перпендикулярно прямой р. В таком случае, опустим из точки О перпендикуляр на прямую р, который будет расстоянием от центра окружности до прямой:
Из прямоугольного треугольника можем сказать, что гипотенуза ОН меньше катета ОА, то есть , прямая и окружность имеют две общие точки, прямая р является секущей. Таким образом, мы получили противоречие, а, значит, теорема доказана.
Рис. 6. Иллюстрация к теореме
Справедлива и обратная теорема.
Теорема:
Если прямая проходит через конец радиуса, лежащий на окружности, и перпендикулярна этому радиусу, то она является касательной.
Доказательство:
Поскольку прямая перпендикулярна радиусу, то расстояние ОА - это расстояние от прямой до центра окружности и оно равно радиусу: . То есть , а в этом случае, как мы ранее доказывали, у прямой и окружности единственная общая точка - это точка А, таким образом, прямая р является касательной к окружности по определению (рис. 7).
Рис. 7. Иллюстрация к теореме
Прямую и обратную теоремы можно объединить следующим образом (рис. 8):
Задана окружность с центром О, прямая р, радиус ОА
Рис. 8. Иллюстрация к теореме
Теорема:
Прямая является касательной к окружности тогда и только тогда, когда радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей.
Данная теорема означает, что если прямая является касательной, то радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен ей, и наоборот, из перпендикулярности ОА и р следует, что р - касательная, то есть, прямая и окружность имеют единственную общую точку.
Рассмотрим две касательные, проведенные из одной точки к окружности.
Теорема:
Отрезки касательных к окружности, проведенные из одной точки, равны и составляют равные углы с прямой, проведенной через эту точку и центр окружности.
Задана окружность, центр О, точка А вне окружности. Из точки А проведены две касательные, точки В и С - точки касания. Требуется доказать, что и что равны углы 3 и 4.
Рис. 9. Иллюстрация к теореме
Доказательство:
Доказательство основано на равенстве треугольников 
. Объясним равенство треугольников. Они являются прямоугольными, так как радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной. Значит, углы и прямые и равны по . Катеты ОВ и ОС равны, так как являются радиусом окружности. Гипотенуза АО - общая.
Таким образом, треугольники равны по равенству катета и гипотенузы. Отсюда очевидно, что катеты АВ и АС также равны. Также углы, лежащие напротив равных сторон, равны, значит, равны углы и , .
Теорема доказана.
Итак, мы познакомились с понятием касательной к окружности, на следующем уроке мы рассмотрим градусную меру дуги окружности.
Список литературы
- Александров А.Д. и др. Геометрия 8 класс. - М.: Просвещение, 2006.
- Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б., Прасолов В.В. Геометрия 8. - М.: Просвещение, 2011.
- Мерзляк А.Г., Полонский В.Б., Якир С.М. Геометрия 8 класс. - М.: ВЕНТАНА-ГРАФ, 2009.
- Univer.omsk.su ().
- Oldskola1.narod.ru ().
- School6.aviel.ru ().
Домашнее задание
- Атанасян Л.С., Бутузов В.Ф., Кадомцев С.Б. и др., Геометрия 7-9, № 634-637, с. 168.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
Загрузка...
