Каждая планета движется по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце. Закон открыт Ньютоном также в XVII веке (понятно, что на основе законов Кеплера). Второй закон Кеплера эквивалентен закону сохранения момента импульса. В отличие от двух первых, третий закон Кеплера применим только к эллиптическим орбитам. Немецкий астроном И. Кеплер в начале XVII века на основе системы Коперника сформулировал три эмпирических закона движения планет Солнечной системы.
В рамках классической механики выводятся из решения задачи двух тел предельным переходом → 0, где, - массы планеты и Солнца соответственно. Мы получили уравнение конического сечения с эксцентриситетомe и началом системы координат в одном из фокусов. Таким образом, из второго закона Кеплера следует, что планета движется вокруг Солнца неравномерно, имея в перигелии большую линейную скорость, чем в афелии.
3.1. Движение в гравитационном поле
Ньютон установил, что гравитационное притяжение планеты определенной массы зависит только от расстояния до неё, а не от других свойств, таких, как состав или температура. Другая формулировка этого закона: секториальная скорость планеты постоянна. Современная формулировка первого закона дополнена так: в невозмущенном движении орбита движущегося тела есть кривая второго порядка – эллипс, парабола или гипербола.
Несмотря на то, что законы Кеплера явились важнейшим этапом в понимании движения планет, они все же оставались только эмпирическими правилами, полученными из астрономических наблюдений.
Для круговых орбит первый и второй закон Кеплера выполняются автоматически, а третий закон утверждает, что T2 ~ R3, где Т – период обращения, R – радиус орбиты. В соответствии с законом сохранения энергии полная энергия тела в гравитационном поле остается неизменной. При E = E1 rmax. В этом случае небесное тело движется по эллиптической орбите (планеты Солнечной системы, кометы).
Законы Кеплера применимы не только к движению планет и других небесных тел в Солнечной системе, но и к движению искусственных спутников Земли и космических кораблей. Установлены Иоганном Кеплером в начале XVII века как обобщение данных наблюдений Тихо Браге. Причем особенно внимательно Кеплер изучал движение Марса. Рассмотрим законы подробнее.
При с=0 и е=0 эллипс превращается в окуржность. Этот закон, равно как и первые два, применим не только к движению планет, но и к движению как их естественных, так и искуственных спутников. Кеплера не дана, так как в этом не было необходимости. Кеплера сформулирован Ньютоном так: квадраты сидерических периодов планет, умноженные на сумму масс Солнца и планеты, относятся как кубы больших полуосей орбит планет.
17 в. И. Кеплером (1571-1630) на основе многолетних наблюдений Т. Браге (1546-1601). Закон площадей.) 3. Квадраты периодов любых двух планет соотносятся как кубы их средних расстояний от Солнца. Наконец, он предположил, что орбита Марса эллиптическая, и увидел, что эта кривая хорошо описывает наблюдения, если Солнце поместить в один из фокусов эллипса. Затем Кеплер предположил (хотя и не мог точно доказать этого), что все планеты движутся по эллипсам, в фокусе которых находится Солнце.
КЕПЛЕРОВСКИЙ ЗАКОН ПЛОЩАДЕЙ. 1 й закон: каждая планета движется по эллиптич. Когда камень падает на Землю, он подчиняется закону всемирного тяготения. Эта сила прилагается к одному из взаимодействующих тел и направлена в сторону другого. К такому заключению, в частности, пришел И. Ньютон в своем мысленном бросании камней с высокой горы.Итак, Солнце искривляет движение планет, не давая им разлететься во все стороны.
Кеплер на основе результатов кропотливых и многолетних наблюдений Тихо Браге за планетой Марс смог определить форму его орбиты. Действие на Луну Земли и Солнца делают совершенно непригодными для расчетов ее орбиты законы Кеплера.
Форма эллипса и степень его сходства с окружностью характеризуется отношением, где - расстояние от центра эллипса до его фокуса (половина межфокусного расстояния), - большая полуось. Таким образом можно утверждать, что, а следовательно и пропорциональная ей скорость заметания площади - константа. Солнца, а и - длины больших полуосей их орбит. Утверждение справедливо также для спутников.
Вычислим площадь эллипса, по которому движется планета. При этом взаимодействие между телами M1 и M2 не учитывается. Различие будет только в линейных размерах орбит (если тела разной массы). В мире атомов и элементарных частиц гравитационные силы пренебрежимо малы по сравнению с другими видами силового взаимодействия между частицами.
Глава 3. Основы небесной механики
Гравитация управляет движением планет Солнечной системы. Без нее планеты, составляющие Солнечную систему, разбежались бы в разные стороны и потерялись в безбрежных просторах мирового пространства. С точки зрения земного наблюдателя планеты движутся по весьма сложным траекториям (рис. 1.24.1). Геоцентрическая система Птолемея продержалась более 14 столетий и только в середине XVI века была заменена гелиоцентрической системой Коперника.
На рис. 1.24.2 показана эллиптическая орбита планеты, масса которой много меньше массы Солнца. Почти все планеты Солнечной системы (кроме Плутона) движутся по орбитам, близким к круговым. Круговая и эллиптическая орбиты.
Ньютон первый высказал мысль о том, что гравитационные силы определяют не только движение планет Солнечной системы; они действуют между любыми телами Вселенной. В частности, уже говорилось, что сила тяжести, действующая на тела вблизи поверхности Земли, имеет гравитационную природу. Потенциальная энергия тела массы m, находящегося на расстоянии r от неподвижного тела массы M, равна работе гравитационных сил при перемещении массы m из данной точки в бесконечность.
В пределе при Δri → 0 эта сумма переходит в интеграл. Полная энергия может быть положительной и отрицательной, а также равняться нулю. Знак полной энергии определяет характер движения небесного тела (рис. 1.24.6). Если скорость космического корабля равна υ1 = 7.9·103 м/с и направлена параллельно поверхности Земли, то корабль будет двигаться по круговой орбите на небольшой высоте над Землей.
Таким образом, первый закон Кеплера прямо следует из закона всемирного тяготения Ньютона и второго закона Ньютона. 3. Наконец, Кеплер отметился еще и третьим законом планетных движений. Солнца, а и - массы планет. Применительно к нашей Солнечной системе, с этим законом связаны два понятия: перигелий — ближайшая к Солнцу точка орбиты, и афелий — наиболее удаленная точка орбиты.
Астрономия конца XVI века отмечает столкновение двух моделей нашей Солнечной системы: геоцентрическая система Птолемея – где центром вращения всех объектов является Земля, и Коперника – где Солнце является центральным телом.
И хотя Коперник был ближе к истинной природе Солнечной системы, его работа имела недостатки. Основным из этих недостатков являлось утверждение, что планеты вращаются вокруг Солнца по круговым орбитам. С учетом этого, модель Коперника практически настолько же не согласовывалась с наблюдениями, как и система Птолемея. Польский астроном стремился исправить данное расхождение при помощи дополнительного движения планеты по кругу, центр которого уже двигался вокруг Солнца — эпицикл. Однако, расхождения в большей своей части не были устранены.
В начале XVII века немецкий астроном Иоганн Кеплер, изучая систему Николая Коперника, а также анализируя результаты астрономических наблюдений датчанина Тихо Браге, вывел основные законы относительно движения планет. Они были названы как Три закона Кеплера.
Немецкий астроном пытался различными способами сохранить круговую орбиту движения планет, однако это не позволяло исправить расхождение с результатами наблюдений. Потому Кеплер прибегнул к эллиптическим орбитам. У каждой такой орбиты есть два так называемых фокуса. Фокусы – это две заданные точки, такие, что сумма расстояний от этих двух точек до любой точки эллипса является постоянной.
Иоганн Кеплер отметил, что планета движется по эллиптической орбите вокруг Солнца таким образом, что Солнце располагается в одном из двух фокусов эллипса, что и стало первым законом движения планет.
Проведем радиус-вектор от Солнца, которое располагается в одном из фокусов эллипсоидной орбиты планеты, к самой планете. Тогда за равные промежутки времени данный радиус-вектор описывает равные площади на плоскости, в которой движется планета вокруг Солнца. Данное утверждение является вторым законом.
Третий закон Кеплера
Каждая орбита планеты имеет точку, ближайшую к Солнцу, которое называется перигелием. Точка орбиты, наиболее удаленная от Солнца, называется афелием. Отрезок, соединяющий эти две точки называется большой осью орбиты. Если разделить этот отрезок пополам, то получим большую полуось, которую чаще используют в астрономии.
Третий закон движения планет Кеплера звучит следующим образом:
Отношение квадрата периода обращения планеты вокруг Солнца к большой полуоси орбиты этой планеты является постоянным, и также равняется отношению квадрата периода обращения другой планеты вокруг Солнца к большой полуоси этой планеты.
Также иногда записывают другое отношение:
Дальнейшее развитие
И хотя законы Кеплера имели относительно невысокую погрешность (не более 1%), все же они были получены эмпирическим способом. Теоретическое же обоснование отсутствовало. Данная проблема позже была решена Исааком Ньютоном, который в 1682-м году открыл закон всемирного тяготения. Благодаря этому закону удалось описать подобное поведение планет. Законы Кеплера стали важнейшим этапом в понимании и описании движения планет.
Два величайших ученых намного обогнавшие свое время, они создали науку, которая называется небесной механикой, то есть открыли законы движения небесных тел под действием сил тяготения, и даже если бы этим их достижения ограничились, они все равно бы вошли в пантеон великих мира сего. Так случилось, что они не пересеклись во времени. Только через тринадцать лет после смерти Кеплера родился Ньютон. Оба они являлись сторонниками гелиоцентрической системы Коперника. Много лет изучая движение Марса, Кеплер экспериментально открывает три закона движения планет, за пятьдесят с лишним лет до открытия Ньютоном закона всемирного тяготения. Еще не понимая, почему планеты движутся так, а не иначе. Это был каторжный труд и гениальное предвидение. Зато Ньютон именно законами Кеплера проверял свой закон тяготения. Все три закона Кеплера являются следствиями закона тяготения. И открыл его Ньютон в 23 года. В это время 1664 – 1667 годы в Лондоне свирепствовала чума. Тринити колледж, в котором преподавал Ньютон, был распущен на неопределенный срок, дабы не усугубить эпидемию. Ньютон возвращается к себе на родину и за два года совершает переворот в науке, сделав три важнейших открытия: дифференциальное и интегральное исчисление, объяснение природы света и закон всемирного тяготения. Исаак Ньютон был торжественно похоронен в Вестминстерском аббатстве. Над его могилой высится памятник с бюстом и эпитафией «Здесь покоится сэр Исаак Ньютон, дворянин, который почти божественным разумом первый доказал с факелом математики в руке движение планет, пути комет и приливы океанов… Пусть смертные радуются, что существует такое украшение рода человеческого».
Заслуга открытия законов движения планет принадлежит выдающемуся немецкому учёному, астроному и математику, Иоганну Кеплеру (1571 – 1630 гг.)– человеку большого мужества и необыкновенной любви к науке.
Он проявил себя ревностным сторонником системы мира Коперника и задался целью уточнить строение Солнечной системы. Тогда это означало: познать законы движения планет, или, как он выразился, «проследить замысел Бога при cотворении мира» . В начале XVII в. Кеплер, изучая обращение Марса вокруг Солнца, установил три закона движения планет.
Первый закон Кеплера: Каждая планета обращается вокруг Солнца по эллипсу, в одном из фокусов которого находится Солнце.
Под действием силы притяжения одно небесное тело движется в поле тяготения другого небесного тела по одному из конических сечений – кругу, эллипсу, параболе или гиперболе.
Эллипсом называется плоская замкнутая кривая, имеющая такое свойство, что сумма расстояний каждой её точки от двух точек, называемых фокусами, остаётся постоянной. Эта сумма расстояний равна длине большой оси эллипса. Точка О – центр эллипса, F1 и F2 – фокусы. Солнце находится в данном случае в фокусе F1.
Ближайшая к Солнцу точка орбиты называется перигелием, самая далёкая – афелием. Линия, соединяющая какую-либо точку эллипса с фокусом, называется радиус-вектором. Отношение расстояния между фокусами к большой оси (к наибольшему диаметру) называется эксцентриситетом е. эллипс тем сильнее вытянут, чем больше его эксцентриситет. Большая полуось эллипса а – среднее расстояние планеты до Солнца.
По эллиптическим орбитам движутся и кометы и астероиды. У окружности е = 0, у эллипса 0 < е < 1, у параболы е = 1, у гиперболы е > 1.
Орбиты планет – эллипсы, мало отличаются от окружностей; их эксцентриситеты малы. Например, эксцентриситет орбиты Земли е = 0,017.
Второй закон Кеплера: Радиус-вектор планеты за одинаковые промежутки времени описывает равные площади (определяет скорость движения планеты по орбите). Скорость планеты тем больше, чем она ближе к Солнцу.
Планета проходит путь от точки А до А1 и от В до В1 за одно и то же время. Другими словами, планета движется быстрее всего в перигелии, а медленнее всего – когда находится на наибольшем удалении (в афелии). Так, скорость кометы Галлея в перигелии равна 55 км/с, а в афелии 0,9 км/с.
Самый близкий к Солнцу Меркурий обегает вокруг светила за 88 дней. За ним движется Венера, и год на ней длится 225 земных суток. Земля обращается вокруг Солнца за 365 суток, то есть ровно за один год. Марсианский год почти в два раза продолжительнее земного. Юпитерский год равен почти 12 земным годам, а далёкий Сатурн обходит свою орбиту за 29,5 лет! Словом, чем дальше планета от Солнца, тем продолжительнее на планете год. И Кеплер пытался найти зависимость между размерами орбит различных планет и временем их обращения вокруг Солнца.
15 мая 1618 года после множества неудачных попыток Кеплер установил наконец очень важное соотношение, известное как
Третий закон Кеплера: Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы их средних расстояний от Солнца.
Если периоды обращения любых двух планет, например Земли и Марса, обозначить через Тз и Тм, а их средние расстояния от Солнца – а з и а м, то третий закон Кеплера можно записать в виде равенства:
Т 2 м / Т 2 з = а 3 м / а 3 з.
Но ведь период обращения Земли вокруг Солнца равен одному году (Тз = 1), а среднее расстояние Земля – Солнце принято за одну астрономическую единицу (а з = 1 а.е.). Тогда данное равенство примет более простой вид:
Т 2 м = а 3 м
Период обращения планеты (в нашем примере Марса) можно определить из наблюдений. Он составляет 687 земных суток, или 1,881 года. Зная это, нетрудно вычислить среднее расстояние планеты от Солнца в астрономических единицах:
Т.е. Марс находится в среднем в 1,524 раза дальше от Солнца, чем наша Земля. Следовательно, если известно время обращения какой-нибудь планеты, то по нему можно найти её среднее расстояние от Солнца. Таким путём Кеплеру удалось определить расстояния всех известных в ту пору планет:
Меркурий – 0,39,
Венера – 0,72,
Земля – 1,00
Марс – 1,52,
Юпитер – 5,20,
Сатурн – 9,54.
Только это были относительные расстояния – числа, показывающие, во сколько раз та или иная планета дальше от Солнца или ближе к Солнцу, чем Земля. Истинные значения этих расстояний, выраженные в земных мерах (в км), оставались неизвестными, ибо ещё не была известна длина астрономической единицы – среднего расстояния Земли от Солнца.
Третий закон Кеплера связал в единую стройную систему всё солнечное семейство. На поиски ушло девять трудных лет. Победило упорство учёного!
Вывод: законы Кеплера теоретически развивали гелиоцентрическое учение и тем самым укрепляли позиции новой астрономии. Астрономия Коперника – самое мудрое из всех произведений человеческого ума.
Последующие наблюдения показали, что законы Кеплера применимы не только для планет Солнечной системы и их спутников, но и для звёзд, физически связанных между собой и обращающихся вокруг общего центра масс. Они легли в основу практической космонавтики, ибо по законам Кеплера движутся все искусственные небесные тела, начиная с первого советского спутника и кончая современными космическими аппаратами. Не случайно в истории астрономии Иоганна Кеплера называют «законодателем неба».
И. Кеплер всю свою жизнь пытался доказать, что наша Солнечная система - это какое-то мистическое искусство. Изначально он пытался доказать, что устройство системы имеет сходство с правильными многогранниками из древнегреческой геометрии. Во времена Кеплера было известно о существовании шести планет. Считалось, что они помещаются в хрустальные сферы. По утверждению ученого, эти сферы располагались таким образом, что между соседствующими точно вписываются многогранники правильной формы. Между Юпитером и Сатурном поместился куб, вписанный во внешнюю среду, в которую вписана сфера. Между Марсом и Юпитером находится тетраэдр, и т.п. После долгих лет наблюдений за небесными объектами, появились законы Кеплера, а свою теорию о многогранниках он опроверг.
Законы
На смену геоцентрической Птолемеевой системе мира пришла система гелиоцентрического типа, созданная Коперником. Еще позже, Кеплер выявил вокруг Солнца.
После многолетних наблюдений за планетами появились три закона Кеплера. Рассмотрим их в статье.
Первый
Согласно первому закону Кеплера, все планеты нашей системы движутся по замкнутой кривой, называемой эллипсом. Наше светило располагается в одном из фокусов эллипса. Всего их два: это две точки внутри кривой, сумма расстояний от которых до любой точки эллипса постоянна. После длительных наблюдений ученый смог выявить, что орбиты всех планет нашей системы располагаются почти в одной плоскости. Некоторые небесные тела двигаются по орбитам-эллипсам, близким к окружности. И только Плутон с Марсом двигаются по более вытянутым орбитам. Исходя из этого, первый закон Кеплера получил название закона эллипсов.
Второй закон
Изучение движения тел позволяет ученому установить, что больше в тот период, когда она находится ближе к Солнцу, и меньше тогда, когда она находится на максимальном расстоянии от Солнца (это точки перигелия и афелия).
Второй закон Кеплера говорит о следующем: каждая планета перемещается в плоскости, проходящей через центр нашего светила. В одно и то же время радиус-вектор, соединяющий Солнце и исследуемую планету, описывает равные площади.
Таким образом, ясно, что тела движутся вокруг желтого карлика неравномерно, а имея в перигелии максимальную скорость, а в афелии - минимальную. На практике это видно по движению Земли. Ежегодно в начале января наша планета, во время прохождения через перигелий, перемещается быстрее. Из-за этого движение Солнца по эклиптике происходит быстрее, чем в другое время года. В начале июля Земля движется через афелий, из-за чего Солнце по эклиптике перемещается медленнее.
Третий закон
По третьему закону Кеплера, между периодом обращения планет вокруг светила и ее средним расстоянием от него устанавливается связь. Этот закон ученый применил ко всем планетам нашей системы.
Объяснение законов
Законы Кеплера смогли объяснить только после открытия Ньютоном закона тяготения. По нему физические объекты принимают участие в гравитационном взаимодействии. Оно обладает всеобщей универсальностью, которой подвержены все объекты материального типа и физические поля. По утверждению Ньютона, два неподвижных тела действуют взаимно друг с другом с силой, пропорциональной произведению их веса и обратно пропорциональной квадрату промежутков между ними.
Возмущенное движение
Движением тел нашей Солнечной системы управляет сила притяжения желтого карлика. Если бы тела притягивались только силой Солнца, то планеты совершали бы движения вокруг него точно по законам движения Кеплера. Данный вид перемещения называют невозмущенным или кеплеровским.
В действительности все объекты нашей системы притягиваются не только нашим светилом, но и друг другом. Поэтому ни одно из тел не может перемещаться точно по эллипсу, гиперболе или по кругу. Если тело отклоняется во время движения от законов Кеплера, то это называется возмущениями, а само движение - возмущенным. Именно оно считается реальным.
Орбиты небесных тел не являются неподвижными эллипсами. Во время притяжения другими телами, происходит изменение эллипса орбиты.
Вклад И. Ньютона
Исаак Ньютон смог вывести из законов движения планет Кеплера закон всемирного тяготения. Для решения космическо-механических задач Ньютон использовал именно всемирное тяготение.
После Исаака прогресс в области небесной механики заключался в развитии математической науки, применяемой для решения уравнений, выражающих законы Ньютона. Этот ученый смог установить, что гравитация планеты определяется расстоянием до нее и массой, а вот такие показатели, как температура и состав, не оказывают никакого влияния.
В своей научной работе Ньютон показал, что третий кеплеровский закон не совсем точен. Он показал, что при подсчетах важно учитывать массу планеты, так как движение и вес планет связаны. Это гармоническая комбинация показывает связь между кеплеровскими законами и законом тяготения, выявленным Ньютоном.
Астродинамика
Применение законов Ньютона и Кеплера стало основой появления астродинамики. Это раздел небесной механики, изучающий движение космических тел, созданных искусственно, а именно: спутников, межпланетных станций, различных кораблей.
Астродинамика занимается расчетами орбит космических кораблей, а также определяет, по каким параметрам производить пуск, на какую орбиту выводить, какие необходимо провести маневры, планированием гравитационного воздействия на корабли. И это далеко не все практические задачи, которые ставятся перед астродинамикой. Все полученные результаты применяются при выполнении самых разных космических миссий.
С астродинамикой тесно связана небесная механика, которая изучает движение естественных космических тел под действием силы тяготения.
Орбиты
Под орбитой понимают траекторию движения точки в заданном пространстве. В небесной механике принято считать, что траектория тела в гравитационном поле другого тела обладает значительно большей массой. В прямоугольной системе координат, траектория может иметь форму конического сечения, т.е. быть представлена параболой, эллипсом, кругом, гиперболой. При этом фокус будет совпадать с центром системы.
На протяжении длительного времени считалось, что орбиты должны быть круглыми. Довольно долго ученые пытались подобрать именно круговой вариант перемещения, но у них не получалось. И только Кеплер смог объяснить, что планеты перемещаются не по круговой орбите, а по вытянутой. Это позволило открыть три закона, которые смогли описать движение небесных тел по орбите. Кеплер открыл следующие элементы орбиты: форму орбиты, ее наклон, положение плоскости орбиты тела в пространстве, размер орбиты, привязку по времени. Все эти элементы определяют орбиту независимо от ее формы. При расчетах основной координатной плоскостью может быть плоскость эклиптики, галактики, планетарного экватора и т.д.
Многочисленные исследования показывают, что по геометрической форме орбиты могут быть эллиптическими и округлыми. Есть деление на замкнутые и незамкнутые. По углу наклона орбиты к плоскости земного экватора, орбиты могут быть полярными, наклонными и экваториальными.
По периоду обращения вокруг тела, орбиты могут быть синхронными или солнечно-синхронными, синхронно-суточными, квазисинхронными.
Как говорил Кеплер, все тела имеют определенную скорость движения, т.е. орбитальную скорость. Она может быть постоянной на протяжении всего обращения вокруг тела или же изменяться.
Планеты движутся вокруг Солнца по вытянутым эллиптическим орбитам, причем Солнце находится в одной из двух фокальных точек эллипса.
Отрезок прямой, соединяющий Солнце и планету, отсекает равные площади за равные промежутки времени.
Квадраты периодов обращения планет вокруг Солнца относятся как кубы больших полуосей их орбит.
Иоганн Кеплер обладал чувством прекрасного. Всю свою сознательную жизнь он пытался доказать, что Солнечная система представляет собой некое мистическое произведение искусства. Сначала он пытался связать ее устройство с пятью правильными многогранниками классической древнегреческой геометрии. (Правильный многогранник — объемная фигура, все грани которой представляют собой равные между собой правильные многоугольники.) Во времена Кеплера было известно шесть планет, которые, как полагалось, помещались на вращающихся «хрустальных сферах». Кеплер утверждал, что эти сферы расположены таким образом, что между соседними сферами точно вписываются правильные многогранники. Между двумя внешними сферами — Сатурна и Юпитера — он поместил куб, вписанный во внешнюю сферу, в который, в свою очередь, вписана внутренняя сфера; между сферами Юпитера и Марса — тетраэдр (правильный четырехгранник) и т. д. Шесть сфер планет, пять вписанных между ними правильных многогранников — казалось бы, само совершенство?
Увы, сравнив свою модель с наблюдаемыми орбитами планет, Кеплер вынужден был признать, что реальное поведение небесных тел не вписывается в очерченные им стройные рамки. По меткому замечанию современного британского биолога Дж. Холдейна (J. B. S. Haldane), «идея Вселенной как геометрически совершенного произведения искусства оказалась еще одной прекрасной гипотезой, разрушенной уродливыми фактами». Единственным пережившим века результатом того юношеского порыва Кеплера стала модель Солнечной системы, собственноручно изготовленная ученым и преподнесенная в дар его патрону герцогу Фредерику фон Вюртембургу. В этом прекрасно исполненном металлическом артефакте все орбитальные сферы планет и вписанные в них правильные многогранники представляют собой не сообщающиеся между собой полые емкости, которые по праздникам предполагалось заполнять различными напитками для угощения гостей герцога.
Лишь переехав в Прагу и став ассистентом знаменитого датского астронома Тихо Браге (Tycho Brahe, 1546-1601), Кеплер натолкнулся на идеи, по-настоящему обессмертившие его имя в анналах науки. Тихо Браге всю жизнь собирал данные астрономических наблюдений и накопил огромные объемы сведений о движении планет. После его смерти они перешли в распоряжение Кеплера. Эти записи, между прочим, имели большую коммерческую ценность по тем временам, поскольку их можно было использовать для составления уточненных астрологических гороскопов (сегодня об этом разделе ранней астрономии ученые предпочитают умалчивать).
Обрабатывая результаты наблюдений Тихо Браге, Кеплер столкнулся с проблемой, которая и при наличии современных компьютеров могла бы показаться кому-то трудноразрешимой, а у Кеплера не было иного выбора, кроме как проводить все расчеты вручную. Конечно же, как и большинство астрономов его времени, Кеплер уже был знаком с гелиоцентрической системой Коперника (см. Принцип Коперника) и знал, что Земля вращается вокруг Солнца, о чем свидетельствует и вышеописанная модель Солнечной системы. Но как именно вращается Земля и другие планеты? Представим проблему следующим образом: вы находитесь на планете, которая, во-первых, вращается вокруг своей оси, а во-вторых, вращается вокруг Солнца по неизвестной вам орбите. Глядя в небо, мы видим другие планеты, которые также движутся по неизвестным нам орбитам. Наша задача — определить по данным наблюдений, сделанных на нашем вращающемся вокруг своей оси вокруг Солнца земном шаре, геометрию орбит и скорости движения других планет. Именно это, в конечном итоге, удалось сделать Кеплеру, после чего, на основе полученных результатов, он и вывел три своих закона!
Первый закон описывает геометрию траекторий планетарных орбит. Возможно, вы помните из школьного курса геометрии, что эллипс представляет собой множество точек плоскости, сумма расстояний от которых до двух фиксированных точек — фокусов — равна константе. Если это слишком сложно для вас, имеется другое определение: представьте себе сечение боковой поверхности конуса плоскостью под углом к его основанию, не проходящей через основание, — это тоже эллипс. Первый закон Кеплера как раз и утверждает, что орбиты планет представляют собой эллипсы, в одном из фокусов которых расположено Солнце. Эксцентриситеты (степень вытянутости) орбит и их удаления от Солнца в перигелии (ближайшей к Солнцу точке) и апогелии (самой удаленной точке) у всех планет разные, но все эллиптические орбиты роднит одно — Солнце расположено в одном из двух фокусов эллипса. Проанализировав данные наблюдений Тихо Браге, Кеплер сделал вывод, что планетарные орбиты представляют собой набор вложенных эллипсов. До него это просто не приходило в голову никому из астрономов.
Историческое значение первого закона Кеплера трудно переоценить. До него астрономы считали, что планеты движутся исключительно по круговым орбитам, а если это не укладывалось в рамки наблюдений — главное круговое движение дополнялось малыми кругами, которые планеты описывали вокруг точек основной круговой орбиты. Это было, я бы сказал, прежде всего философской позицией, своего рода непреложным фактом, не подлежащим сомнению и проверке. Философы утверждали, что небесное устройство, в отличие от земного, совершенно по своей гармонии, а поскольку совершеннейшими из геометрических фигур являются окружность и сфера, значит планеты движутся по окружности (причем это заблуждение мне и сегодня приходится раз за разом развеивать среди своих студентов). Главное, что, получив доступ к обширным данным наблюдений Тихо Браге, Иоганн Кеплер сумел перешагнуть через этот философский предрассудок, увидев, что он не соответствует фактам — подобно тому как Коперник осмелился убрать Землю из центра мироздания, столкнувшись с противоречащими стойким геоцентрическим представлениям аргументами, которые также состояли в «неправильном поведении» планет на орбитах.
Второй закон описывает изменение скорости движения планет вокруг Солнца. В формальном виде я его формулировку уже приводил, а чтобы лучше понять его физический смысл, вспомните свое детство. Наверное, вам доводилось на детской площадке раскручиваться вокруг столба, ухватившись за него руками. Фактически, планеты кружатся вокруг Солнца аналогичным образом. Чем дальше от Солнца уводит планету эллиптическая орбита, тем медленнее движение, чем ближе к Солнцу — тем быстрее движется планета. Теперь представьте пару отрезков, соединяющих два положения планеты на орбите с фокусом эллипса, в котором расположено Солнце. Вместе с сегментом эллипса, лежащим между ними, они образуют сектор, площадь которого как раз и является той самой «площадью, которую отсекает отрезок прямой». Именно о ней говорится во втором законе. Чем ближе планета к Солнцу, тем короче отрезки. Но в этом случае, чтобы за равное время сектор покрыл равную площадь, планета должна пройти большее расстояние по орбите, а значит скорость ее движения возрастает.
В первых двух законах речь идет о специфике орбитальных траекторий отдельно взятой планеты. Третий закон Кеплера позволяет сравнить орбиты планет между собой. В нем говорится, что чем дальше от Солнца находится планета, тем больше времени занимает ее полный оборот при движении по орбите и тем дольше, соответственно, длится «год» на этой планете. Сегодня мы знаем, что это обусловлено двумя факторами. Во-первых, чем дальше планета находится от Солнца, тем длиннее периметр ее орбиты. Во-вторых, с ростом расстояния от Солнца снижается и линейная скорость движения планеты.
В своих законах Кеплер просто констатировал факты, изучив и обобщив результаты наблюдений. Если бы вы спросили его, чем обусловлена эллиптичность орбит или равенство площадей секторов, он бы вам не ответил. Это просто следовало из проведенного им анализа. Если бы вы спросили его об орбитальном движении планет в других звездных системах, он также не нашел бы, что вам ответить. Ему бы пришлось начинать всё сначала — накапливать данные наблюдений, затем анализировать их и стараться выявить закономерности. То есть у него просто не было бы оснований полагать, что другая планетная система подчиняется тем же законам, что и Солнечная система.
Один из величайших триумфов классической механики Ньютона как раз и заключается в том, что она дает фундаментальное обоснование законам Кеплера и утверждает их универсальность. Оказывается, законы Кеплера можно вывести из законов механики Ньютона , закона всемирного тяготения Ньютона и закона сохранения момента импульса путем строгих математических выкладок. А раз так, мы можем быть уверены, что законы Кеплера в равной мере применимы к любой планетной системе в любой точке Вселенной. Астрономы, ищущие в мировом пространстве новые планетные системы (а открыто их уже довольно много), раз за разом, как само собой разумеющееся, применяют уравнения Кеплера для расчета параметров орбит далеких планет, хотя и не могут наблюдать их непосредственно.
Третий закон Кеплера играл и играет важную роль в современной космологии. Наблюдая за далекими галактиками, астрофизики регистрируют слабые сигналы, испускаемые атомами водорода, обращающимися по очень удаленным от галактического центра орбитам — гораздо дальше, чем обычно находятся звезды. По эффекту Доплера в спектре этого излучения ученые определяют скорости вращения водородной периферии галактического диска, а по ним — и угловые скорости галактик в целом (см. также Темная материя). Меня радует, что труды ученого, твердо поставившего нас на путь правильного понимания устройства нашей Солнечной системы, и сегодня, спустя века после его смерти, играют столь важную роль в изучении строения необъятной Вселенной.
Между сферами Марса и Земли — додекаэдр (двенадцатигранник); между сферами Земли и Венеры — икосаэдр (двадцатигранник); между сферами Венеры и Меркурия — октаэдр (восьмигранник). Получившаяся конструкция была представлена Кеплером в разрезе на подробном объемном чертеже (см. рисунок) в его первой монографии «Космографическая тайна» (Mysteria Cosmographica, 1596). — Примечание переводчика.
Загрузка...
