Квадратное уравнение – решается просто! *Далее в тексте «КУ». Друзья, казалось бы, что может быть в математике проще, чем решение такого уравнения. Но что-то мне подсказывало, что с ним у многих есть проблемы. Решил посмотреть сколько показов по запросу в месяц выдаёт Яндекс. Вот что получилось, посмотрите:
Что это значит? Это значит то, что около 70000 человек в месяц ищут данную информацию, при чём это лето, а что будет среди учебного года — запросов будет в два раза больше. Это и неудивительно, ведь те ребята и девчата, которые давно окончили школу и готовятся к ЕГЭ, ищут эту информацию, также и школьники стремятся освежить её в памяти.
Несмотря на то, что есть масса сайтов, где рассказывается как решать это уравнение, я решил тоже внести свою лепту и опубликовать материал. Во-первых, хочется чтобы по данному запросу и на мой сайт приходили посетители; во-вторых, в других статьях, когда зайдёт речь «КУ» буду давать ссылку на эту статью; в-третьих, расскажу вам о его решении немного больше, чем обычно излагается на других сайтах. Приступим! Содержание статьи:
Квадратное уравнение – это уравнение вида:
где коэффициенты a, b и с произвольные числа, при чём a≠0.
В школьном курсе материал дают в следующем виде – условно делается разделение уравнений на три класса:
1. Имеют два корня.
2. *Имеют только один корень.
3. Не имеют корней. Здесь стоит особо отметить, что не имеют действительных корней
Как вычисляются корни? Просто!
Вычисляем дискриминант. Под этим «страшным» словом лежит вполне простая формула:
Формулы корней имеют следующий вид:
*Эти формулы нужно знать наизусть.
Можно сразу записывать и решать:
Пример:
1. Если D > 0, то уравнение имеет два корня.
2. Если D = 0, то уравнение имеет один корень.
3. Если D < 0, то уравнение не имеет действительных корней.
Давайте рассмотрим уравнение:
По данному поводу, когда дискриминант равен нулю, в школьном курсе говорится о том, что получается один корень, здесь он равен девяти. Всё правильно, так и есть, но…
Данное представление несколько несколько некорректно. На самом деле получается два корня. Да-да, не удивляйтесь, получается два равных корня, и если быть математически точным, то в ответе следует записывать два корня:
х 1 = 3 х 2 = 3
Но это так – небольшое отступление. В школе можете записывать и говорить, что корень один.
Теперь следующий пример:
Как нам известно – корень из отрицательного числа не извлекается, поэтому решения в данном случае нет.
Вот и весь процесс решения.
Квадратичная функция.
Здесь показано, как решение выглядит геометрически. Это крайне важно понимать (в дальнейшем в одной из статей мы подробно будем разбирать решение квадратного неравенства).
Это функция вида:
где х и у — переменные
a, b, с – заданные числа, при чём a ≠ 0
Графиком является парабола:
То есть, получается, что решая квадратное уравнение при «у» равном нулю мы находим точки пересечения параболы с осью ох. Этих точек может быть две (дискриминант положительный), одна (дискриминант равен нулю) и ни одной (дискриминант отрицательный). Подробно о квадратичной функции можете посмотреть статью у Инны Фельдман.
Рассмотрим примеры:
Пример 1: Решить 2x 2 +8 x –192=0
а=2 b=8 c= –192
D = b 2 –4ac = 8 2 –4∙2∙(–192) = 64+1536 = 1600
Ответ: х 1 = 8 х 2 = –12
*Можно было сразу же левую и правую часть уравнения разделить на 2, то есть упростить его. Вычисления будут проще.
Пример 2: Решить x 2 –22 x+121 = 0
а=1 b=–22 c=121
D = b 2 –4ac =(–22) 2 –4∙1∙121 = 484–484 = 0
Получили, что х 1 = 11 и х 2 = 11
В ответе допустимо записать х = 11.
Ответ: х = 11
Пример 3: Решить x 2 –8x+72 = 0
а=1 b= –8 c=72
D = b 2 –4ac =(–8) 2 –4∙1∙72 = 64–288 = –224
Дискриминант отрицательный, решения в действительных числах нет.
Ответ: решения нет
Дискриминант отрицательный. Решение есть!
Здесь речь пойдёт о решении уравнения в случае когда получается отрицательный дискриминант. Вы что-нибудь знаете о комплексных числах? Не буду здесь подробно рассказывать о том, почему и откуда они возникли и в чём их конкретная роль и необходимость в математике, это тема для большой отдельной статьи.
Понятие комплексного числа.
Немного теории.
Комплексным числом z называется число вида
z = a + bi
где a и b – действительные числа, i – так называемая мнимая единица.
a+bi – это ЕДИНОЕ ЧИСЛО, а не сложение.
Мнимая единица равна корню из минус единицы:
Теперь рассмотрим уравнение:
Получили два сопряжённых корня.
Неполное квадратное уравнение.
Рассмотрим частные случаи, это когда коэффициент «b» или «с» равен нулю (или оба равны нулю). Они решаются легко без всяких дискриминантов.
Случай 1. Коэффициент b = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем:
Пример:
4x 2 –16 = 0 => 4x 2 =16 => x 2 = 4 => x 1 = 2 x 2 = –2
Случай 2. Коэффициент с = 0.
Уравнение приобретает вид:
Преобразуем, раскладываем на множители:
*Произведение равно нулю тогда, когда хотя бы один из множителей равен нулю.
Пример:
9x 2 –45x = 0 => 9x (x–5) =0 => x = 0 или x–5 =0
x 1 = 0 x 2 = 5
Случай 3. Коэффициенты b = 0 и c = 0.
Здесь понятно, что решением уравнения всегда будет х = 0.
Полезные свойства и закономерности коэффициентов.
Есть свойства, которые позволяют решить уравнения с большими коэффициентами.
а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство
a + b + с = 0, то
— если для коэффициентов уравнения а x 2 + bx + c =0 выполняется равенство
a + с = b , то
Данные свойства помогают решить определённого вида уравнения.
Пример 1: 5001 x 2 –4995 x – 6=0
Сумма коэффициентов равна 5001+(– 4995)+(– 6) = 0, значит
Пример 2: 2501 x 2 +2507 x +6=0
Выполняется равенство a + с = b , значит
Закономерности коэффициентов.
1. Если в уравнении ax 2 + bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 + (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = –а х 2 = –1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 6х 2 +37х+6 = 0.
х 1 = –6 х 2 = –1/6.
2. Если в уравнении ax 2 – bx + c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 +1), а коэффициент «с» численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 – (а 2 +1)∙х+ а= 0 = > х 1 = а х 2 = 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 15х 2 –226х +15 = 0.
х 1 = 15 х 2 = 1/15.
3. Если в уравнении ax 2 + bx – c = 0 коэффициент «b» равен (a 2 – 1), а коэффициент «c» численно равен коэффициенту «a» , то его корни равны
аx 2 + (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = – а х 2 = 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 17х 2 +288х – 17 = 0.
х 1 = – 17 х 2 = 1/17.
4. Если в уравнении ax 2 – bx – c = 0 коэффициент «b» равен (а 2 – 1), а коэффициент с численно равен коэффициенту «а», то его корни равны
аx 2 – (а 2 –1)∙х – а= 0 = > х 1 = а х 2 = – 1/a.
Пример. Рассмотрим уравнение 10х 2 – 99х –10 = 0.
х 1 = 10 х 2 = – 1/10
Теорема Виета.
Теорема Виета называется по имени знаменитого французского математика Франсуа Виета. Используя теорему Виета, можно выразить сумму и произведение корней произвольного КУ через его коэффициенты.
45 = 1∙45 45 = 3∙15 45 = 5∙9.
В сумме число 14 дают только 5 и 9. Это корни. При определённом навыке, используя представленную теорему, многие квадратные уравнения вы сможете решать сходу устно.
Теорема Виета, кроме того. удобна тем, что после решения квадратного уравнения обычным способом (через дискриминант) полученные корни можно проверять. Рекомендую это делать всегда.
СПОСОБ ПЕРЕБРОСКИ
При этом способе коэффициент «а» умножается на свободный член, как бы «перебрасывается» к нему, поэтому его и называют способом «переброски». Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Если а ± b+c ≠ 0, то используется прием переброски, например:
2х 2 – 11х+ 5 = 0 (1) => х 2 – 11х+ 10 = 0 (2)
По теореме Виета в уравнении (2) легко определить, что х 1 = 10 х 2 = 1
Полученные корни уравнения необходимо разделить на 2 (так как от х 2 «перебрасывали» двойку), получим
х 1 = 5 х 2 = 0,5.
Каково обоснование? Посмотрите что происходит.
Дискриминанты уравнений (1) и (2) равны:
Если посмотреть на корни уравнений, то получаются только различные знаменатели, и результат зависит именно от коэффициента при х 2:
У второго (изменённого) корни получаются в 2 раза больше.
Потому результат и делим на 2.
*Если будем перебрасывать тройку, то результат разделим на 3 и т.д.
Ответ: х 1 = 5 х 2 = 0,5
Кв. ур-ие и ЕГЭ.
О его важности скажу кратко – ВЫ ДОЛЖНЫ УМЕТЬ РЕШАТЬ быстро и не задумываясь, формулы корней и дискриминанта необходимо знать наизусть. Очень многие задачи, входящие в состав заданий ЕГЭ, сводятся к решению квадратного уравнения (геометрические в том числе).
Что стоит отметить!
1. Форма записи уравнения может быть «неявной». Например, возможна такая запись:
15+ 9x 2 - 45x = 0 или 15х+42+9x 2 - 45x=0 или 15 -5x+10x 2 = 0.
Вам необходимо привести его к стандартному виду (чтобы не запутаться при решении).
2. Помните, что х это неизвестная величина и она может быть обозначена любой другой буквой – t, q, p, h и прочими.
Цели:
- Ввести понятие приведенного квадратного уравнения;
- “открыть” зависимость между корнями и коэффициентами приведенного квадратного уравнения;
- развивать интерес к математике, показав на примере жизни Виета, что математика может быть увлечением.
1. Проверка домашнего задания
№ 309(г) х 1 =7, х 2 =
№ 311(г) х 1 =2, х 2 =-1
№ 312 (г) корней нет
2. Повторение изученного материала
У каждого на столенаходится таблица. Найдите соответствие между левым и правым столбиками таблицы.
| Словесная формулировка | Буквенное выражение |
| 1. Квадратный трехчлен | А. ах 2 =0 |
| 2. Дискриминант | Б. ах 2 +с=0, с< 0 |
| 3. Неполное квадратное уравнение, имеющее один корень равный 0. | В. Д > 0 |
| 4. Неполное квадратное уравнение, один корень которого 0, а другой не равен 0. | Г. Д < 0 |
| 5. Не полное квадратное уравнение, корни которого равны по модулю, но противоположны по знаку. | Д. ах 2 +вх+с=0 |
| 6. Не полное квадратное уравнение, не имеющее действительных корней. | Е. Д=в 2 +4ас |
| 7. Общий вид квадратного уравнения. | Ж. х 2 +рх+q=0 |
| 8. Условие, при котором квадратное уравнение имеет два корня | З. ах 2 +вх+с |
| 9. Условие, при котором квадратное уравнение не имеет корней | И. ах 2 +с=0, с > 0 |
| 10. Условие, при котором квадратное уравнение имеет два равных корня | К. ах 2 +вх=0 |
| 11. Приведенное квадратное уравнение. | Л. Д = 0 |
Правильные ответы занесите в таблицу.
1-З; 2-Е; 3-А; 4-К; 5-Б; 6-И; 7-Д; 8-В; 9-Г; 10-Л; 11-Ж.
3. Закрепление изученного материала
Решите уравнения:
а) -5х 2 + 8х -3=0;
Решение :
Д=64 – 4(-5)(-3) = 4,
х 1 = х 2 = = а + в + с =-5+8-3=0
б) 2 х 2 +6х – 8 = 0;
Решение :
Д=36 – 4 2 (-8)= 100,
х 1 = = х 2 = а + в + с = 2+6-8=0
в) 2009 х 2 +х – 2010 =0
Решение :
а + в + с = 2009+1 + (-2010) =0 , то х 1 =1 х 2 =
4. Расширение школьного курса
ах 2 +вх+с=0, если а+в+с=0, то х 1 =1 х 2 =Рассмотрим решение уравнений
а) 2х 2 + 5х +3 = 0
Решение :
Д= 25 -24 =1 х 1 = х 2 = а – в + с = 2-5+3=0
б) -4х 2 -5х -1 =0
Решение :
Д =25 – 16 = 9 х 1 = – 1 х 2 = а –в + с = -4-(-5) – 1=0
в)1150х 2 +1135х -15 = 0
Решение :
а – в+с = 1150-1135 +(-15) = 0 х 1 = – 1 х 2 =
ах 2 +вх+с=0, если а-в+с=0, то х 1 = – 1 х 2 =
5. Новая тема
Проверим выполнение вами первого задания. С какими новыми понятиями вывстретились. 11 – ж, т. е.
Приведенное квадратное уравнение – х 2 +рх+q=0.
Тема нашего урока.
Заполним следующую таблицу.
Левый столбик сами в тетрадях и один ученик у
доски.
Решение уравнения ах 2 +вх+с=0
Правый столбик, более подготовленный ученик у
доски
Решение уравнения х 2 + рх + q = 0, при а = 1, в =
р, с = q
Учитель (при необходимости) помогает, остальные в тетрадях.
6. Практическая часть
Х 2 – 6х + 8 = 0,
Д = 9 – 8 = 1,
х 1 = 3 – 1 = 2
х 2 = 3 + 1 = 4
Х 2 + 6х + 8 = 0,
Д = 9 – 8 = 0,
х 1 = -3 – 1 = -4
х 2 = -3 + 1 = -2
Х 2 + 20х + 51 = 0,
Д = 100 – 51 = 49
х 1 = 10 – 7 = 3
х 2 = 10 + 7 = 17
Х 2 – 20х – 69 = 0,
Д = 100 – 69 = 31
По результатам наших вычислений заполним таблицу.
№ уравнения р х 1+ х 2 q х 1 х 2 1 -6 6 8 8
Сравним полученные результаты с
коэффициентами квадратных уравнений.
Какой вывод можно сделать?
7. Историческая справка
Впервые зависимость между корнями и коэффициентами квадратного уравнения установил знаменитый французский ученый Франсуа Виет (1540–1603).
Франсуа Виет был по профессии адвокатом и много лет работал советником короля. И хотя математика была его увлечением, или как говорят хобби, благодаря упорному труду он добился в ней больших результатов. Виет в 1591 г. ввел буквенное обозначения для неизвестных и коэффициентов уравнений. Что дало возможность записывать общими формулами корни и другие свойства уравнения.
Недостатком алгебры Виета было то, что он признавал только положительные числа. Чтобы избежать отрицательных решений, он заменял уравнения или искал искусственные приемы решения, что отнимало много времени, усложняло решение и часто приводило к ошибкам.
Много разных открытий сделал Виет, но сам он больше всего дорожил установлением зависимости между корнями и коэффициентами квадратного уравнения, то есть той зависимостью, которая называется “теоремой Виета”.
Эту теорему мы будем рассматривать на следующем уроке.
8. Обобщение знаний
Вопросы :
- Какое уравнение называют приведенным квадратным уравнением?
- По какой формуле можно найти корни приведенного квадратного уравнения?
- От чего зависит число корней приведенного квадратного уравнения?
- Что называют дискриминантом приведенного квадратного уравнения?
- Как связаны корни приведенного квадратного уравнения и его коэффициенты?
- Кто установил эту связь?
9. Домашняя работа
п. 4.5, №321(б,е) №322(а,г,ж,з)
Заполните таблицу.
Уравнение Корни Сумма корней Произведение корней Х 2 – 8х + 7 = 0 1 и 7 8 7
Литература
С.М. Никольский и др., “Алгебра 8” учебник серии “МГУ-школе” – М.: Просвещение, 2007.
Библиографическое описание: Гасанов А. Р., Курамшин А. А., Ельков А. А., Шильненков Н. В., Уланов Д. Д., Шмелева О. В. Способы решения квадратных уравнений // Юный ученый. 2016. №6.1. С. 17-20..02.2019).
Наш проект посвящен способам решения квадратных уравнений. Цель проекта: научиться решать квадратные уравнения способами, не входящими в школьную программу. Задача: найти все возможные способы решения квадратных уравнений и научиться их использовать самим и познакомить одноклассников с этими способами.
Что же такое «квадратные уравнения»?
Квадратное уравнение - уравнение вида ax 2 + bx + c = 0 , где a , b , c - некоторые числа (a ≠ 0 ), x - неизвестное.
Числа a, b,c называются коэффициентами квадратного уравнения.
- a называется первым коэффициентом;
- b называется вторым коэффициентом;
- c - свободным членом.
А кто же первый "изобрёл" квадратные уравнения?
Некоторые алгебраические приемы решения линейных и квадратных уравнений были известны еще 4000 лет назад в Древнем Вавилоне. Найденные древние вавилонские глиняные таблички, датированные где-то между 1800 и 1600 годами до н.э., являются самыми ранними свидетельствами об изучении квадратных уравнений. На этих же табличках изложены методы решения некоторых типов квадратных уравнений.
Необходимость решать уравнения не только первой, но и второй степени еще в древности была вызвана потребностью решать задачи, связанные с нахождением площадей земельных участков и с земляными работами военного характера, а также с развитием астрономии и самой математики.
Правило решения этих уравнений, изложенное в вавилонских текстах, совпадает по существу с современным, однако неизвестно, каким образом дошли вавилоняне до этого правила. Почти все найденные до сих пор клинописные тексты приводят только задачи с решениями, изложенными в виде рецептов, без указаний относительно того, каким образом они были найдены. Несмотря на высокий уровень развития алгебры в Вавилоне, в клинописных текстах отсутствуют понятие отрицательного числа и общие методы решения квадратных уравнений.
Вавилонские математики примерно с IV века до н.э. использовали метод дополнения квадрата для решения уравнений с положительными корнями. Около 300 года до н.э. Эвклид придумал более общий геометрический метод решения. Первым математиком, который нашел решения уравнения с отрицательными корнями в виде алгебраической формулы, был индийский ученый Брахмагупта (Индия, VII столетие нашей эры).
Брахмагупта изложил общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единой канонической форме:
ax2 + bх = с, а>0
В этом уравнении коэффициенты, могут быть и отрицательными. Правило Брахмагупты по существу совпадает с нашим.
В Индии были распространены публичные соревнования в решении трудных задач. В одной из старинных индийских книг говорится по поводу таких соревнований следующее: «Как солнце блеском своим затмевает звезды, так ученый человек затмит славу в народных собраниях, предлагая и решая алгебраические задачи». Задачи часто облекались в стихотворную форму.
В алгебраическом трактате Аль-Хорезми дается классификация линейных и квадратных уравнений. Автор насчитывает 6 видов уравнений, выражая их следующим образом:
1) «Квадраты равны корням», т. е. ах2 = bх.
2) «Квадраты равны числу», т. е. ах2 = с.
3) «Корни равны числу», т. е. ах2 = с.
4) «Квадраты и числа равны корням», т. е. ах2 + с = bх.
5) «Квадраты и корни равны числу», т. е. ах2 + bх =с.
6) «Корни и числа равны квадратам», т. е. bх + с == ах2.
Для Аль-Хорезми, избегавшего употребления отрицательных чисел, члены каждого из этих уравнений слагаемые, а не вычитаемые. При этом заведомо не берутся во внимание уравнения, у которых нет положительных решений. Автор излагает способы решения указанных уравнений, пользуясь приемами ал-джабр и ал-мукабала. Его решение, конечно, не совпадает полностью с нашим. Уже не говоря о том, что оно чисто риторическое, следует отметить, например, что при решении неполного квадратного уравнения первого вида Аль-Хорезми, как и все математики до XVII в., не учитывает нулевого решения, вероятно, потому, что в конкретных практических задачах оно не имеет значения. При решении полных квадратных уравнений Аль-Хорезми на частных числовых примерах излагает правила решения, а затем их геометрические доказательства.
Формы решения квадратных уравнений по образцу Аль-Хорезми в Европе были впервые изложены в «Книге абака», написанной в 1202г. итальянским математиком Леонардом Фибоначчи . Автор разработал самостоятельно некоторые новые алгебраические примеры решения задач и первый в Европе подошел к введению отрицательных чисел.
Эта книга способствовала распространению алгебраических знаний не только в Италии, но и в Германии, Франции и других странах Европы. Многие задачи из этой книги переходили почти во все европейские учебники XIV-XVII вв. Общее правило решения квадратных уравнений, приведенных к единому каноническому виду x2 + bх = с при всевозможных комбинациях знаков и коэффициентов b, c, было сформулировано в Европе в 1544 г. М. Штифелем.
Вывод формулы решения квадратного уравнения в общем виде имеется у Виета, однако Виет признавал только положительные корни. Итальянские математики Тарталья,Кардано, Бомбелли среди первых в XVI в. учитывают, помимо положительных, и отрицательные корни. Лишь в XVII в. благодаря трудам Жирара, Декарта, Ньютона и других ученых способ решения квадратных уравнений принимает современный вид.
Рассмотрим несколько способов решения квадратных уравнений.
Стандартные способы решения квадратных уравнений из школьной программы:
- Разложение левой части уравнения на множители.
- Метод выделения полного квадрата.
- Решение квадратных уравнений по формуле.
- Графическое решение квадратного уравнения.
- Решение уравнений с использованием теоремы Виета.
Остановимся подробнее на решение приведенных и не приведенных квадратных уравнений по теореме Виета.
Напомним, что для решения приведенных квадратных уравнений достаточно найти два числа такие, произведение которых равно свободному члену, а сумма - второму коэффициенту с противоположным знаком.
Пример. x 2 -5x+6=0
Нужно найти числа, произведение которых равно 6, а сумма 5. Такими числами будут 3 и 2.
Ответ: x 1 =2, x 2 =3.
Но можно использовать этот способ и для уравнений с первым коэффициентом не равным единице.
Пример. 3x 2 +2x-5=0
Берём первый коэффициент и умножаем его на свободный член: x 2 +2x-15=0
Корнями этого уравнения будут числа, произведение которых равно - 15, а сумма равна - 2. Эти числа - 5 и 3. Чтобы найти корни исходного уравнения, полученные корни делим на первый коэффициент.
Ответ: x 1 =-5/3, x 2 =1
6. Решение уравнений способом "переброски".
Рассмотрим квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, где а≠0.
Умножая обе его части на а, получаем уравнение а 2 х 2 + аbх + ас = 0.
Пусть ах = у, откуда х = у/а; тогда приходим к уравнению у 2 + by + ас = 0, равносильному данному. Его корни у 1 и у 2 найдем с помощью теоремы Виета.
Окончательно получаем х 1 = у 1 /а и х 2 = у 2 /а.
При этом способе коэффициент a умножается на свободный член, как бы "перебрасывается" к нему, поэтому его называют способом "переброски". Этот способ применяют, когда можно легко найти корни уравнения, используя теорему Виета и, что самое важное, когда дискриминант есть точный квадрат.
Пример. 2х 2 - 11х + 15 = 0.
"Перебросим" коэффициент 2 к свободному члену и сделав замену получим уравнение у 2 - 11у + 30 = 0.
Согласно обратной теореме Виета
у 1 = 5, х 1 = 5/2, х 1 =2,5 ;у 2 = 6, x 2 = 6/2, x 2 = 3.
Ответ: х 1 =2,5; х 2 = 3.
7. Свойства коэффициентов квадратного уравнения.
Пусть дано квадратное уравнение ах 2 + bх + с = 0, а ≠ 0.
1. Если a+ b + с = 0 (т.е. сумма коэффициентов уравнения равна нулю), то х 1 = 1.
2. Если а - b + с = 0, или b = а + с, то х 1 = - 1.
Пример. 345х 2 - 137х - 208 = 0.
Так как а + b + с = 0 (345 - 137 - 208 = 0), то х 1 = 1, х 2 = -208/345.
Ответ: х 1 =1; х 2 = -208/345 .
Пример. 132х 2 + 247х + 115 = 0
Т.к. a-b+с = 0 (132 - 247 +115=0), то х 1 = - 1, х 2 = - 115/132
Ответ: х 1 = - 1; х 2 =- 115/132
Существуют и другие свойства коэффициентов квадратного уравнения. но ихиспользование более сложное.
8. Решение квадратных уравнений с помощью номограммы.
Рис 1. Номограмма
Это старый и в настоящее время забытый способ решения квадратных уравнений, помещенный на с.83 сборника: Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.
Таблица XXII. Номограмма для решения уравнения z 2 + pz + q = 0 . Эта номограмма позволяет, не решая квадратного уравнения, по его коэффициентам определить корни уравнения.
Криволинейная шкала номограммы построена по формулам (рис. 1):
Полагая ОС = р, ED = q, ОЕ = а (все в см), из рис.1 подобия треугольников САН и CDF получим пропорцию
откуда после подстановок и упрощений вытекает уравнение z 2 + pz + q = 0, причем буква z означает метку любой точки криволинейной шкалы.
Рис. 2 Решение квадратных уравнения с помощью номограммы
Примеры.
1) Для уравнения z 2 - 9z + 8 = 0 номограмма дает корни z 1 = 8,0 и z 2 = 1,0
Ответ:8,0; 1,0.
2) Решим с помощью номограммы уравнение
2z 2 - 9z + 2 = 0.
Разделим коэффициенты этого уравнения на 2, получим уравнение z 2 - 4,5z + 1 = 0.
Номограмма дает корни z 1 = 4 и z 2 = 0,5.
Ответ: 4; 0,5.
9. Геометрический способ решения квадратных уравнений.
Пример. х 2 + 10х = 39.
В оригинале эта задача формулируется следующим образом: "Квадрат и десять корней равны 39".
Рассмотрим квадрат со стороной х, на его сторонах строятся прямоугольники так, что другая сторона каждого из них равна 2,5, следовательно, площадь каждого равна 2,5x. Полученную фигуру дополняют затем до нового квадрата АВСD, достраивая в углах четыре равных квадрата, сторона каждого из них 2,5, а площадь 6,25
Рис. 3 Графический способ решения уравнения х 2 + 10х = 39
Площадь S квадрата ABCD можно представить как сумму площадей: первоначального квадрата х 2 , четырех прямоугольников (4∙2,5x = 10х) и четырех пристроенных квадратов (6,25∙ 4 = 25) , т.е. S = х 2 + 10х = 25. Заменяя х 2 + 10х числом 39, получим что S = 39+ 25 = 64, откуда следует, что сторона квадрата АВСD, т.е. отрезок АВ = 8. Для искомой стороны х первоначального квадрата получим
10. Решение уравнений с использованием теоремы Безу.
Теорема Безу. Остаток от деления многочлена P(x) на двучлен x - α равен P(α) (т.е. значению P(x) при x = α).
Если число α является корнем многочлена P(x), то этот многочлен делится на x -α без остатка.
Пример. х²-4х+3=0
Р(x)= х²-4х+3, α: ±1,±3, α =1, 1-4+3=0. Разделим Р(x) на (х-1):(х²-4х+3)/(х-1)=х-3
х²-4х+3=(х-1)(х-3), (х-1)(х-3)=0
х-1=0; х=1, или х-3=0, х=3; Ответ: х 1 =2, х 2 =3.
Вывод: Умение быстро и рационально решать квадратные уравнения просто необходимо для решения более сложных уравнений, например, дробно-рациональных уравнений, уравнений высших степеней, биквадратных уравнений, а в старшей школе тригонометрических, показательных и логарифмических уравнений. Изучив все найденные способы решения квадратных уравнений, мы можем посоветовать одноклассникам, кроме стандартных способов, решение способом переброски (6) и решение уравнений по свойству коэффициентов (7), так как они являются более доступными для понимания.
Литература:
- Брадис В.М. Четырехзначные математические таблицы. - М., Просвещение, 1990.
- Алгебра 8 класс: учебник для 8 кл. общеобразоват. учреждений Макарычев Ю. Н., Миндюк Н. Г., Нешков К. И., Суворова С. Б. под ред. С. А. Теляковского 15-е изд., дораб. - М.: Просвещение, 2015
- https://ru.wikipedia.org/wiki/%D0%9A%D0%B2%D0%B0%D0%B4%D1%80%D0%B0%D1%82%D0%BD%D0%BE%D0%B5_%D1%83%D1%80%D0%B0%D0%B2%D0%BD%D0%B5%D0%BD%D0%B8%D0%B5
- Глейзер Г.И. История математики в школе. Пособие для учителей. / Под ред. В.Н. Молодшего. - М.: Просвещение, 1964.
Квадратные уравнения. Общая информация.
В квадратном уравнении обязательно должен присутствовать икс в квадрате (поэтому оно и называется
«квадратным»). Кроме него, в уравнении могут быть (а могут и не быть!) просто икс (в первой степени) и
просто число (свободный член ). И не должно быть иксов в степени, больше двойки.
Алгебраическое уравнение общего вида.
где x — свободная переменная, a , b , c — коэффициенты, причём a ≠0 .
Например
: 
Выражение 
называют квадратным трёхчленом
.
Элементы квадратного уравнения имеют собственные названия:
· называют первым или старшим коэффициентом,
· называют вторым или коэффициентом при ,
· называют свободным членом.
Полное квадратное уравнение.
В этих квадратных уравнениях слева присутствует полный набор членов. Икс в квадрате с
коэффициентом а, икс в первой степени с коэффициентом b и свободный член с. В се коэффициенты
должны быть отличны от нуля.
Неполным называется такое квадратное уравнение, в котором хотя бы один из коэффициентов, кроме
старшего (либо второй коэффициент, либо свободный член), равен нулю.
Предположим, что b = 0, - пропадёт икс в первой степени. Получается, например:
2х 2 -6х=0,
И т.п. А если оба коэффициента, b и c равны нулю, то всё ещё проще, например:
2х 2 =0,
Обратите внимание, что икс в квадрате присутствует во всех уравнениях.
Почему а не может быть равно нулю? Тогда исчезнет икс в квадрате и уравнение станет линейным .
И решается уже совсем иначе...
Конспект урока
учителя математики
МБОУ СОШ №2 г. Ворсма
Киселевой Ларисы Алексеевны
Тема: «Приведенное квадратное уравнение. Теорема Виета»
Цель урока: Введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.
Задачи:
Образовательные:
Ввести понятие приведенного квадратного уравнения,
Вывести формулу корней приведенного квадратного уравнения,
Сформулировать и доказать теорему Виета,
Сформулировать и доказать теорему, обратную теореме Виета,
Научить учащихся решать приведенные квадратные уравнения, пользуясь теоремой, обратной теореме Виета.
Развивающие:
развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;
Воспитательные:
воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.
Тип урока: урок ознакомления с новым материалом.
Оборудование: учебник алгебры под ред. Алимова и др., тетрадь, раздаточный материал, презентация к уроку.
План урока.
Этап урока
Содержание (цель)этапа
Время (мин)
Организационный момент
Проверка домашнего задания
Проверочная работа
Разбор работы, ответы на вопросы.
Изучение нового материала
Формирование опорных знаний, формулировка правил, решение задач, анализ результатов, ответы на вопросы учащихся.
Усвоение изученного материала путем его применения при решении задач по аналогии под контролем учителя.
Подведение итогов урока
Оценка знаний отвечавших учеников. Проверка знаний и понимания формулировок правил методом фронтального опроса.
Домашнее задание
Ознакомление учащихся с содержанием задания и получение необходимых пояснений.
Дополнительные задания
Разноуровневые задания для обеспечения развития учащихся.
Ход урока.
Организационный момент. Постановка цели урока. Создание благоприятных условий для успешной деятельности. Мотивация учения.
Проверка домашнего задания. Фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся.
Уравнение
Количество корней
Учитель: Как, не решая квадратного уравнения, определить количество его корней? (ответы учащихся)
Проверочная работа. Ответы на вопросы.
Текст проверочной работы:
Вариант №1.
Решите уравнения:
А) 
,
Б) 
имеет:
Один корень,
Два различных корня.
Вариант №2.
Решите уравнения:
А) 
,
Б) 
2.Найдите значение параметра а, при которых уравнение 
имеет:
Один корень,
Два различных корня.
Проверочная работа выполняется на отдельных листах, сдается учителю на проверку.
После сдачи работы решение высвечивается на экран.
Изучение нового материала.
4.1. Франсуа Виет – французский математик 16 века. Он был адвокатом, позднее – советником французских королей Генриха III и Генриха II .
Однажды он сумел расшифровать очень сложное испанское письмо, перехваченное французами. Инквизиция чуть не сожгла его на костре, обвинив в сговоре с дьяволом.
Франсуа Виета называют «отцом буквенной современной алгебры»
Как связаны между собой корни квадратного трёхчлена и его коэффициенты p и q ? Ответ на этот вопрос дает теорема, которая носит имя «отца алгебры», французского математика Ф.Виета, которую мы будем сегодня изучать.
Знаменитая теорема была обнародована в 1591 году.
4.2.Сформулируем определение приведенного квадратного уравнения.
Определение. Квадратное уравнение вида 
называется приведенным.
Это значит, что старший коэффициент уравнения равен единице.
Пример. .
Всякое квадратное уравнение 
может быть приведено к виду . Для этого необходимо разделить обе части уравнения на .
Например , уравнение 7Х 2 – 12Х + 14 = 0 делением на 7 приводится к виду
Х 2 – 12/7Х + 2 = 0
4.3. Вывести формулы корней приведенного квадратного уравнения.
a , b , c
a=1 , b=p , c=q
Решите уравнение Х 2 – 14Х – 15 =0 (Ученик решает у доски)
Вопросы:
Назовите коэффициенты p и q (-14, -15);
Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения;
Найдите корни данного уравнения (Х 1 = 15, Х 2 = -1)
4.4. сформулировать и доказать теорему Виета.
Если и - корни уравнения , то справедливы формулы , т.е. сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.
После этого учителем проводится доказательство теоремы. Затем совместно с учащимися делает вывод.
Пример. 
. p
=-5,q
=6.
Значит числа и - числа
положительные. Необходимо найти два положительных числа, произведение которых
равно 6, а сумма равна 5. =2, =3 – корни уравнения.
4.5. Применение теоремы Виета .
С её помощью можно:
Найти сумму и произведение корней квадратного уравнения, не решая его,
Зная один из корней, найти другой,
Определить знаки корней уравнения,
Подобрать корни уравнения, не решая его.
4.6. Сформулируем теорему обратную теореме Виета.
Если числа p
, q
, и таковы, что удовлетворяют соотношения , то , - корни квадратного уравнения .
Доказательство теоремы, обратной теореме Виета, выносится на дом для самостоятельно изучения сильным учащимся.
4.7. рассмотреть решение задачи 5 на странице учебника 125.
Закрепление изученного материала
№ 450 (1)
№ 451 (1, 3, 5) - устно
№ 452 (устно)
№ 455 (1,3)
№ 456 (1, 3)
Подведение итогов урока.
Ответьте на вопросы:
Сформулируйте теорему Виета.
Зачем нужна теорема Виета?
Сформулируйте обратную теорему теореме Виета.
Домашнее задание.
§29 (до задачи 6), № 450(2,4,6); 455(2,4); 456(2,4,6).
Дополнительные задания.
Уровень А.
Найдите сумму и произведение корней уравнения:
2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны 2 и 5.
Уровень В.
1.Найдите сумму и произведение корней уравнения:
2. Пользуясь теоремой, обратной теореме Виета, составьте квадратное уравнение, корни которого равны и .
Уровень С.
1. Разобрать доказательство теоремы, обратной теореме Виета
2. Решите уравнение и выполните проверку по теореме, обратной теореме Виета:
Схема конспекта урока
Этапы работы
Содержание этапа
Организационный момент , включающий:
постановку цели, которая должна быть достигнута учащимися на данном этапе урока (что должно быть сделано учащимися, чтобы их дальнейшая работа на уроке была эффективной)
описание методов организации работы учащихся на начальном этапе урока, настроя учеников на учебную деятельность, предмет и тему урока (с учетом реальных особенностей класса, с которым работает педагог)
Программные требования к математической подготовке учащихся по этой теме заключается в введении понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы (из программы для общеобразовательных учреждений).
Учащиеся 8-го класса – дети подросткового возраста, который характеризуется неустойчивостью внимания. Лучший способ организовать внимание – так организовать учебную деятельность, чтобы у учеников не было ни времени, ни желания, ни возможности отвлекаться на длительное время.
На основании сказанного выше целью урока является решение следующих задач:
а) образовательные: введение понятия приведенного квадратного уравнения, теоремы Виета и обратной ей теоремы.
б) развивающие: развитие логического мышления, памяти, внимания, общеучебных умений, умений сравнивать и обобщать;
в) воспитательные: воспитание трудолюбия, взаимопомощи, математической культуры.
Для того, чтобы учащиеся восприняли урок как логически законченный, целостный, ограниченный во времени отрезок учебно-воспитательного процесса, он начинается с постановки обоснования задач и заканчивается подведением итогов и постановкой задач на следующие уроки.
Опрос учащихся по заданному на дом материалу , включающий:
определение целей, которые учитель ставит перед учениками на данном этапе урока (какой результат должен быть достигнут учащимися);
определение целей и задач, которых учитель хочет достичь на данном этапе урока;
описание методов, способствующих решению поставленных целей и задач;
описание критериев достижения целей и задач данного этапа урока;
определение возможных действий педагога в случае, если ему или учащимся не удается достичь поставленных целей;
описание методов организации совместной деятельности учащихся с учетом особенностей класса, с которым работает педагог;
описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе опроса;
описание методов и критериев оценивания ответов учащихся в ходе опроса.
На первом этапе происходит фронтальная, индивидуальная проверка и коррекция знаний и умений учащихся. При этом происходит повторение решения квадратных уравнений и закрепление определения количества корней по его дискриминанту. Осуществляется переход к определению приведенного квадратного уравнения.
На втором этапе рассматриваются уравнения двух видов. Чтобы учащиеся не уставали от однообразной работы, применяются различные формы работы и варианты заданий, включены задания более высокого уровня (с параметром).
Устная работа учащихся чередуется с письменной, которая состоит в обосновании выбора способа решения квадратного уравнения, анализе решения уравнения
Одним из приёмов педагогической поддержки, является использование в качестве наглядности информационных технологий, которые помогают учащимся разных уровней подготовленности легко усваивать материал, поэтому отдельные моменты урока проводятся с использованием презентации (показ решения самостоятельной работы, вопросы, домашнее задание)
Изучение нового учебного материала. Данный этап предполагает:
изложение основных положений нового учебного материала, который должен быть освоен учащимися;
описание форм и методов изложения (представления) нового учебного материала;
описание основных форм и методов организации индивидуальной и групповой деятельности учащихся с учетом особенностей класса, в котором работает педагог;
описание критериев определения уровня внимания и интереса учащихся к излагаемому педагогом учебному материалу;
описание методов мотивирования (стимулирования) учебной активности учащихся в ходе освоения нового учебного материала
Дается определение приведенного квадратного уравнения. Учитель совместно с учениками проводит вывод формул корней приведенного квадратного уравнения, учащиеся осознают значимость учебного материала урока. Разбор формулировки и доказательства теоремы Виета также происходит совместно с учениками
Такая работа является также закреплением изучения нового материала.
Методы:
наглядный;
практический;
словесный;
частично-поисковый
Закрепление учебного материала , предполагающее:
постановку конкретной учебной цели перед учащимися (какой результат должен быть достигнут учащимися на данном этапе урока);
определение целей и задач, которые ставит перед собой учитель на данном этапе урока;
описание форм и методов достижения поставленных целей в ходе закрепления нового учебного материала с учетом индивидуальных особенностей учащихся, с которыми работает педагог.
описание критериев, позволяющих определить степень усвоения учащимися нового учебного материала;
описание возможных путей и методов реагирования на ситуации, когда учитель определяет, что часть учащихся не освоила новый учебный материал.
Закрепление учебного материала происходит при ответах на вопросы и в работе с учебником:
Разбор задачи №5 на странице 125;
Решение упражнений
№ 450 (1), 451 (1, 3, 5) – устно, 452 (устно);
455 (1,3); 456 (1, 3)
На протяжении всего урока наблюдается высокая активность учащихся, учитель имеет возможность опросить всех учащихся класса, а некоторых даже не один раз.
Подводится итог урока в форме фронтального опроса учащихся по вопросам:
Какие уравнения называются приведенными?
Можно ли обычное квадратное уравнение сделать приведенным?
Запишите формулу корней приведенного квадратного уравнения
Сформулируйте теорему Виета.
Чему равна сумма и произведение корней уравнения:
Задание на дом , включающее:
постановку целей самостоятельной работы для учащихся (что должны сделать учащиеся в ходе выполнения домашнего задания);
определение целей, которые хочет достичь учитель, задавая задание на дом;
определение и разъяснение учащимся критериев успешного выполнения домашнего задания.
В домашней работе предполагается, что учащиеся работают в соответствии со своими возможностями. Сильные учащиеся работают самостоятельно и в конце работы имеют возможность проверить правильность своих решений, сверив их с решениями, записанными на доске в начале следующего урока. Другие учащиеся могут получить консультацию своих одноклассников или учителя. Слабые учащиеся работают, опираясь на примеры, используют решения уравнений, разобранных в классе. Таким образом, создаются условия для работы на различных уровнях сложности.
Загрузка...
