Сложение и деление десятичных дробей. Деление на десятичную дробь

Рассмотрим примеры деления десятичных дробей в этом свете.

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 1,2 на десятичную дробь 0,48 .

Решение.

Ответ:

1,2:0,48=2,5 .

Пример.

Разделите периодическую десятичную дробь 0,(504) на десятичную дробь 0,56 .

Решение.

Переведем периодическую десятичную дробь в обыкновенную : . Также переведем конечную десятичную дробь 0,56 в обыкновенную, имеем 0,56=56/100 . Теперь мы можем перейти от деления исходных десятичных дробей к делению обыкновенных дробей и закончить вычисления: .

Переведем полученную обыкновенную дробь в десятичную дробь, выполнив деление числителя на знаменатель столбиком:

Ответ:

0,(504):0,56=0,(900) .

Принцип деления бесконечных непериодических десятичных дробей отличается от принципа деления конечных и периодических десятичных дробей, так как непериодические десятичные дроби не могут быть переведены в обыкновенные дроби. Деление бесконечных непериодических десятичных дробей сводится к делению конечных десятичных дробей, для чего проводится округление чисел до некоторого разряда. Причем, если одним из чисел, с которыми проводится деление, является конечная или периодическая десятичная дробь, то она тоже округляются до того же разряда, что и непериодическая десятичная дробь.

Пример.

Разделите бесконечную непериодическую десятичную дробь 0,779… на конечную десятичную дробь 1,5602 .

Решение.

Сначала нужно округлить десятичные дроби, чтобы от деления бесконечной непериодической десятичной дроби перейти к делению конечных десятичных дробей. Мы можем провести округление до сотых: 0,779…≈0,78 и 1,5602≈1,56 . Таким образом, 0,779…:1,5602≈0,78:1,56= 78/100:156/100=78/100·100/156= 78/156=1/2=0,5 .

Ответ:

0,779…:1,5602≈0,5 .

Деление натурального числа на десятичную дробь и наоборот

Суть подхода к делению натурального числа на десятичную дробь и к делению десятичной дроби на натуральное число ничем не отличается от сути деления десятичных дробей. То есть, конечные и периодические дроби заменяются обыкновенными дробями, а бесконечные непериодические дроби округляются.

Для иллюстрации рассмотрим пример деления десятичной дроби на натуральное число.

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 25,5 на натуральное число 45 .

Решение.

Заменив десятичную дробь 25,5 обыкновенной дробью 255/10=51/2 , деление сводится к делению обыкновенной дроби на натуральное число : . Полученная дробь в десятичной записи имеет вид 0,5(6) .

Ответ:

25,5:45=0,5(6) .

Деление десятичной дроби на натуральное число столбиком

Деление конечных десятичных дробей на натуральные числа удобно проводить столбиком по аналогии с делением столбиком натуральных чисел . Приведем правило деления.

Чтобы разделить десятичную дробь на натуральное число столбиком , надо:

• дописать справа в делимой десятичной дроби несколько цифр 0 , (в процессе деления при необходимости можно дописать еще любое количество нулей, но эти нули могут и не понадобиться);
• выполнить деление столбиком десятичной дроби на натуральное число по всем правилам деления столбиком натуральных чисел, но когда закончится деление целой части десятичной дроби, то в частном нужно поставить запятую и продолжить деление.

Сразу скажем, что в результате деления конечной десятичной дроби на натуральное число может получиться или конечная десятичная дробь или бесконечная периодическая десятичная дробь. Действительно, после того, как закончится деление всех отличных от 0 десятичных знаков делимой дроби, может получиться либо остаток 0 , и мы получим конечную десятичную дробь, либо остатки начнут периодически повторяться, и мы получим периодическую десятичную дробь.

Разберемся со всеми тонкостями деления десятичных дробей на натуральные числа столбиком при решении примеров.

Пример.

Разделите десятичную дробь 65,14 на 4 .

Решение.

Выполним деление десятичной дроби на натуральное число столбиком. Допишем пару нулей справа в записи дроби 65,14 , при этом получим равную ей десятичную дробь 65,1400 (смотрите равные и неравные десятичные дроби). Теперь можно приступать к делению столбиком целой части десятичной дроби 65,1400 на натуральное число 4 :

На этом деление целой части десятичной дроби закончено. Здесь в частном нужно поставить десятичную запятую и продолжить деление:

Мы пришли к остатку 0 , на этом этапе деление столбиком заканчивается. В итоге имеем 65,14:4=16,285 .

Ответ:

65,14:4=16,285 .

Пример.

Выполните деление 164,5 на 27 .

Решение.

Проведем деление десятичной дроби на натуральное число столбиком. После деления целой части получаем следующую картину:

Теперь ставим в частном запятую и продолжаем деление столбиком:

Сейчас хорошо видно, что начали повторяться остатки 25 , 7 и 16 , при этом в частном повторяются цифры 9 , 2 и 5 . Таким образом, деление десятичной дроби 164,5 на 27 приводит нас к периодической десятичной дроби 6,0(925) .

Ответ:

164,5:27=6,0(925) .

Деление десятичных дробей столбиком

К делению десятичной дроби на натуральное число столбиком можно свести деление десятичной дроби на десятичную дробь. Для этого делимое и делитель нужно умножить на такое число 10 , или 100 , или 1 000 , и т.д., чтобы делитель стал натуральным числом, после чего выполнить деление на натуральное число столбиком. Это мы можем делать в силу свойств деления и умножения, так как a:b=(a·10):(b·10) , a:b=(a·100):(b·100) и так далее.

Иными словами, чтобы разделить конечную десятичную дробь на конечную десятичную дробь , нужно:

• в делимом и делителе перенести запятую вправо на столько знаков, сколько их после запятой в делителе, если при этом в делимом не хватает знаков для переноса запятой, то нужно дописать необходимое количество нулей справа;
• после этого провести деление столбиком десятичной дроби на натуральное число.

Рассмотрим при решении примера применение этого правила деления на десятичную дробь.

Пример.

Выполните деление столбиком 7,287 на 2,1 .

Решение.

Перенесем запятую в данных десятичных дробях на одну цифру вправо, это нам позволит от деления десятичной дроби 7,287 на десятичную дробь 2,1 перейти к делению десятичной дроби 72,87 на натуральное число 21 . Выполним деление столбиком:

Ответ:

7,287:2,1=3,47 .

Пример.

Выполните деление десятичной дроби 16,3 на десятичную дробь 0,021 .

Решение.

Перенесем вправо на 3 знака запятую в делимом и делителе. Очевидно, в делителе не хватает цифр для переноса запятой, поэтому допишем необходимое количество нулей справа. Теперь выполним деление столбиком дроби 16300,0 на натуральное число 21 :

С этого момента начинают повторяться остатки 4 , 19 , 1 , 10 , 16 и 13 , а значит, будут повторяться и цифры 1 , 9 , 0 , 4 , 7 и 6 в частном. В результате мы получаем периодическую десятичную дробь 776,(190476) .

Ответ:

16,3:0,021=776,(190476) .

Заметим, что озвученное правило позволяет делить столбиком натуральное число на конечную десятичную дробь.

Пример.

Разделите натуральное число 3 на десятичную дробь 5,4 .

Решение.

После переноса запятой на 1 цифру вправо, приходим к делению числа 30,0 на 54 . Выполним деление столбиком:
.

Это правило можно применять и при делении бесконечных десятичных дробей на 10, 100, … . К примеру, 3,(56):1 000=0,003(56) и 593,374…:100=5,93374… .

Деление десятичных дробей на 0,1, 0,01, 0,001 и т.д.

Так как 0,1=1/10 , 0,01=1/100 и т.д., то из правила деления на обыкновенную дробь следует, что разделить десятичную дробь на 0,1 , 0,01 , 0,001 и т.д. это все равно, что умножить данную десятичную дробь на 10 , 100 , 1 000 и т.д. соответственно.

Другими словами, чтобы разделить десятичную дробь на 0,1, 0,01, … нужно перенести запятую вправо на 1, 2, 3, … цифр, при этом если цифр в записи десятичной дроби недостаточно для переноса запятой, то справа нужно дописать необходимое количество нулей.

Например, 5,739:0,1=57,39 и 0,21:0,00001=21 000 .

Это же правило можно применять при делении бесконечных десятичных дробей на 0,1 , 0,01 , 0,001 и т.д. При этом следует быть очень внимательным с делением периодических дробей, чтобы не ошибиться с периодом дроби, которая получается в результате деления. К примеру, 7,5(716):0,01=757,(167) , так как после переноса запятой в записи десятичной дроби 7,5716716716… на два знака вправо, имеем запись 757,167167… . С бесконечными непериодическими десятичными дробями все проще: 394,38283…:0,001=394382,83… .

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на десятичную дробь и наоборот

Деление обыкновенной дроби или смешанного числа на конечную или периодическую десятичную дробь, а также деление конечной или периодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число сводится к делению обыкновенных дробей. Для этого десятичные дроби заменяются соответствующими обыкновенными дробями, а смешанное число представляется в виде неправильной дроби.

При делении бесконечной непериодической десятичной дроби на обыкновенную дробь или смешанное число и наоборот следует перейти к делению десятичных дробей, заменив обыкновенную дробь или смешанное число соответствующей десятичной дробью.

Список литературы.

• Математика : учеб. для 5 кл. общеобразоват. учреждений / Н. Я. Виленкин, В. И. Жохов, А. С. Чесноков, С. И. Шварцбурд. - 21-е изд., стер. - М.: Мнемозина, 2007. - 280 с.: ил. ISBN 5-346-00699-0.
• Математика. 6 класс: учеб. для общеобразоват. учреждений / [Н. Я. Виленкин и др.]. - 22-е изд., испр. - М.: Мнемозина, 2008. - 288 с.: ил. ISBN 978-5-346-00897-2.
• Алгебра: учеб. для 8 кл. общеобразоват. учреждений / [Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, С. Б. Суворова]; под ред. С. А. Теляковского. - 16-е изд. - М. : Просвещение, 2008. - 271 с. : ил. - ISBN 978-5-09-019243-9.
• Гусев В. А., Мордкович А. Г. Математика (пособие для поступающих в техникумы): Учеб. пособие.- М.; Высш. шк., 1984.-351 с., ил.

Деление на десятичную дробь сводится к делению на натуральное число.

Правило деления числа на десятичную дробь

Чтобы разделить число на десятичную дробь, надо и в делимом, и в делителе запятую перенести на столько цифр вправо, сколько их в делителе после запятой. После этого выполнить деление на натуральное число.

Примеры.

Выполнить деление на десятичную дробь:

Чтобы разделить на десятичную дробь, нужно и в делимом, и в делителе перенести запятую на столько цифр вправо, сколько их после запятой в делителе, то есть, на один знак. Получаем: 35,1: 1,8 =351: 18. Теперь выполняем деление уголком. В итоге получаем: 35,1: 1,8 = 19,5.

2) 14,76: 3,6

Чтобы выполнить деление десятичных дробей, и в делимом, и в делителе переносим запятую вправо на один знак: 14,76: 3,6 = 147,6: 36. Теперь выполняемна натуральное число. Результат: 14,76: 3,6 = 4,1.

Чтобы выполнить деление на десятичную дробь натурального числа, надо и в делимом, и в делителе перенести на столько знаков вправо, сколько их в делителе после запятой. Поскольку в делителе в этом случае запятая не пишется, недостающее количество знаков заполняем нулями: 70: 1,75 = 7000: 175. Делим уголком полученные натуральные числа: 70: 1,75 = 7000: 175 =40.

4) 0,1218: 0,058

Чтобы разделить одну десятичную дробь на другую, переносим запятую вправо и в делимом, и в делителе на столько знаков, сколько их в делителе после запятой, то есть на три знака. Таким образом, 0,1218: 0,058 = 121,8: 58. Деление на десятичную дробь заменили делением на натуральное число. Делим уголком. Имеем: 0,1218: 0,058 = 121,8: 58 = 2,1.

5) 0,0456: 3,8

Многие школьники к старшим классам забывают, как выполнять деление в столбик. Компьютеры, калькуляторы, мобильные телефоны и прочие устройства так плотно вошли в нашу жизнь, что элементарные математические действия иногда приводят в ступор. И как только люди обходились без всех этих благ еще несколько десятков лет назад? Для начала надо вспомнить главные математические понятия, которые нужны для деления. Так, делимым называют число, которое будут делить. Делитель – число, на которое будут делить. То, что в результате получится, называется частное. Для деления в строчку используется символ, похожий на двоеточие - «: », а при делении в столбик используют значок «∟», его еще по-другому называют уголок.

Стоит также напомнить, что любое деление можно проверить умножением. Чтобы проверить результат деления, достаточно умножить его на делитель, в итоге должно получиться число, которое соответствует делимому (а: b=с; значит, с*b=а) . Теперь о том, что такое десятичная дробь. Десятичная дробь получается после деления единицы на 0,0, 1000 и так далее частей. Запись этих чисел и математические действия с ними, точно такие же, как и с целыми числами. При делении десятичных дробей нет надобности помнить, где располагается знаменатель. Все становится итак понятным при записи числа. Сначала пишется целое число, а после запятой записываются ее десятые, сотые, тысячные части. Первая цифра после запятой соответствует десяткам, вторая - сотням, третья – тысячам и т. д.

Каждый школьник должен знать как делить десятичные дроби на десятичную дробь. Если и делимое, и делитель умножить на одинаковое число, то ответ, т. е. частное не изменится. Если десятичную дробь умножить на 0,0, 1000 и т. д. , то запятая, после целого числа изменит свое положение – она перенесется вправо на столько же цифр, сколько нулей в числе, на которое умножили. Например, при умножении десятичной дроби на 10, запятая сместится на одно число вправо. 2,9: 6,7 – умножаем и делитель, и делимое на 100, получаем 6,9: 3687. Лучше всего умножать так, чтобы при умножении на него хотя бы у одного числа (делителя или делимого) не осталось цифр после запятой, т. е. сделать хотя бы одно число целым. Еще несколько примеров переноса запятых после целого числа: 9,2: 1,5 = 2492: 2,5; 5,4: 4,8 = 5344: 74598.

Внимание, десятичная дробь не изменит своего значения, если справа к ней приписать нули, например 3,8 = 3,0. Также значение дроби не изменится, если у нее убрать справа нули, стоящие в самом конце числа: 3,0 = 3,3. Однако убирать нули, стоящие в середине числа нельзя – 3,3. Как делить десятичную дробь на натуральное число в столбик? Чтобы поделить десятичную дробь на натуральное число в столбик, нужно сделать соответствующую запись уголком, поделить. В частном запятую нужно поставить тогда, когда закончится деление целого числа. Например, 5,4|2 14 7,2 18 18 0 4 4 0Если первая цифра числа в делимом меньше, чем делитель, то используются последующие цифры, то тех пор, пока не будет возможным произвести первое действие.

В данном случае, первая цифра делимого 1, ее поделить на 2 нельзя, поэтому для деления используется сразу две цифры 1 и 5: 15 на 2 делится с остатком, получается в частном 7, а в остатке остается 1. Затем используем следующую цифру делимого – 8. Ее спускаем вниз к 1 и делим 18 на 2. В частном записываем цифру 9. В остатке ничего не остается, поэтому записываем 0. Оставшуюся цифру 4 делимого спускаем вниз и производим деление на делитель, т. е. на 2. В частное записываем 2, а в остатке опять 0. Итогом такого деления получается число 7,2. Оно называется частным. Довольно просто решить вопрос о том, как делить десятичную дробь на десятичную дробь в столбик, если знать некоторые хитрости. Делить десятичные дроби в уме иногда довольно сложно, поэтому для облегчения процесса используется деление в столбик.

При таком делении действуют все те же правила, что и при делении десятичной дроби на целое число или при делении в строку. Слева в строке записывают делимое, затем ставят символ «уголка» и затем пишут делитель и начинают деление. Для облегчения деления и переноса в удобное место запятой после целого числа можно произвести умножение на десятки, сотни или тысячи. Например, 9,2: 1,5 = 24920: 125. Внимание, на 0,0, 1000 умножаются обе дроби. Если делимое было умножено на 10, то и делитель также умножается на 10. В данном примере было произведено умножение и делимого и делителя на 100. Далее выполняют расчет так же, как показано в примере деления десятичной дроби на натуральное число. Для того чтобы произвести деление на 0,1; 0,1; 0,1 и т. д. необходимо умножить и делитель, и делимое на 0,0, 1000.

Достаточно часто при делении в частном, т. е. в ответе, получаются бесконечные дроби. В таком случае необходимо округлить число до десятых, сотых или тысячных. При этом действует правило, если после числа до которого нужно округлить ответ меньше или равняется 5, то ответ округляется в меньшую сторону, если же больше 5 – в большую. Например, требуется округлить результат 5,5 до тысячных. Значит, ответ после запятой должен заканчиваться на цифре 6. После 6 стоит 9, значит, ответ округляем в большую сторону и получаем 5,7. Но если бы нужно было ответ 5,5 округлить не до тысячных, а до десятых, то ответ бы выглядел так – 5,2. В данном случае 2 не округлили в большую сторону, потому что после нее идет 3, а она меньше 5.

На прошлом уроке мы научились складывать и вычитать десятичные дроби (см. урок «Сложение и вычитание десятичных дробей »). Заодно оценили, насколько упрощаются вычисления по сравнению с обычными «двухэтажными» дробями.

К сожалению, с умножением и делением десятичных дробей подобного эффекта не возникает. В некоторых случаях десятичная запись числа даже усложняет эти операции.

Для начала введем новое определение. Мы будем встречаться с ним довольно часто, и не только на этом уроке.

Значащая часть числа - это все, что находится между первой и последней ненулевой цифрой, включая концы. Речь идет только о цифрах, десятичная точка не учитывается.

Цифры, входящие в значащую часть числа, называются значащими цифрами. Они могут повторяться и даже быть равными нулю.

Например, рассмотрим несколько десятичных дробей и выпишем соответствующие им значащие части:

1. 91,25 → 9125 (значащие цифры: 9; 1; 2; 5);
2. 0,008241 → 8241 (значащие цифры: 8; 2; 4; 1);
3. 15,0075 → 150075 (значащие цифры: 1; 5; 0; 0; 7; 5);
4. 0,0304 → 304 (значащие цифры: 3; 0; 4);
5. 3000 → 3 (значащая цифра всего одна: 3).

Обратите внимание: нули, стоящие внутри значащей части числа, никуда не деваются. Мы уже сталкивались с чем-то подобным, когда учились переводить десятичные дроби в обычные (см. урок «Десятичные дроби »).

Этот момент настолько важен, а ошибки здесь допускают так часто, что в ближайшее время я опубликую тест на эту тему. Обязательно потренируйтесь! А мы, вооружившись понятием значащей части, приступим, собственно, к теме урока.

Умножение десятичных дробей

Операция умножения состоит из трех последовательных шагов:

1. Для каждой дроби выписать значащую часть. Получатся два обычных целых числа - без всяких знаменателей и десятичных точек;
2. Умножить эти числа любым удобным способом. Напрямую, если числа невелики, или столбиком. Получим значащую часть искомой дроби;
3. Выяснить, куда и на сколько разрядов сдвигается десятичная точка в исходных дробях для получения соответствующей значащей части. Выполнить обратные сдвиги для значащей части, полученной на предыдущем шаге.

Еще раз напомню, что нули, стоящие по бокам от значащей части, никогда не учитываются. Игнорирование этого правила приводит к ошибкам.

1. 0,28 · 12,5;
2. 6,3 · 1,08;
3. 132,5 · 0,0034;
4. 0,0108 · 1600,5;
5. 5,25 · 10 000.

Работаем с первым выражением: 0,28 · 12,5.

1. Выпишем значащие части для чисел из этого выражения: 28 и 125;
2. Их произведение: 28 · 125 = 3500;
3. В первом множителе десятичная точка сдвинута на 2 цифры вправо (0,28 → 28), а во второй - еще на 1 цифру. Итого нужен сдвиг влево на три цифры: 3500 → 3,500 = 3,5.

Теперь разберемся с выражением 6,3 · 1,08.

1. Выпишем значащие части: 63 и 108;
2. Их произведение: 63 · 108 = 6804;
3. Снова два сдвига вправо: на 2 и 1 цифру соответственно. Всего - снова 3 цифры вправо, поэтому обратный сдвиг будет на 3 цифры влево: 6804 → 6,804. В этот раз нулей на конце нет.

Добрались до третьего выражения: 132,5 · 0,0034.

1. Значащие части: 1325 и 34;
2. Их произведение: 1325 · 34 = 45 050;
3. В первой дроби десятичная точка уходит вправо на 1 цифру, а во второй - на целых 4. Итого: 5 вправо. Выполняем сдвиг на 5 влево: 45 050 → ,45050 = 0,4505. В конце убрали ноль, а спереди - дописали, чтобы не оставлять «голую» десятичную точку.

Следующее выражение: 0,0108 · 1600,5.

1. Пишем значащие части: 108 и 16 005;
2. Умножаем их: 108 · 16 005 = 1 728 540;
3. Считаем цифры после десятичной точки: в первом числе их 4, во втором - 1. Всего - снова 5. Имеем: 1 728 540 → 17,28540 = 17,2854. В конце убрали «лишний» ноль.

Наконец, последнее выражение: 5,25 · 10 000.

1. Значащие части: 525 и 1;
2. Умножаем их: 525 · 1 = 525;
3. В первой дроби выполнен сдвиг на 2 цифры вправо, а во второй - на 4 цифры влево (10 000 → 1,0000 = 1). Итого 4 − 2 = 2 цифры влево. Выполняем обратный сдвиг на 2 цифры вправо: 525, → 52 500 (пришлось дописать нули).

Обратите внимание на последний пример: поскольку десятичная точка перемещается в разных направлениях, суммарный сдвиг находится через разность. Это очень важный момент! Вот еще пример:

Рассмотрим числа 1,5 и 12 500. Имеем: 1,5 → 15 (сдвиг на 1 вправо); 12 500 → 125 (сдвиг на 2 влево). Мы «шагаем» на 1 разряд вправо, а затем - на 2 влево. В итоге, мы шагнули на 2 − 1 = 1 разряд влево.

Деление десятичных дробей

Деление - это, пожалуй, самая сложная операция. Конечно, здесь можно действовать по аналогии с умножением: делить значащие части, а затем «двигать» десятичную точку. Но в этом случае возникает много тонкостей, которые сводят на нет потенциальную экономию.

Поэтому давайте рассмотрим универсальный алгоритм, который чуть-чуть длиннее, но намного надежнее:

1. Перевести все десятичные дроби в обычные. Если немного потренироваться, на этот шаг у вас будут уходить считанные секунды;
2. Разделить полученные дроби классическим способом. Другими словами, умножить первую дробь на «перевернутую» вторую (см. урок «Умножение и деление числовых дробей »);
3. Если возможно, результат снова представить в виде десятичной дроби. Этот шаг тоже выполняется быстро, поскольку зачастую в знаменателе уже стоит степень десятки.

Задача. Найдите значение выражения:

1. 3,51: 3,9;
2. 1,47: 2,1;
3. 6,4: 25,6:
4. 0,0425: 2,5;
5. 0,25: 0,002.

Считаем первое выражение. Для начала переведем оби дроби в десятичные:

Аналогично поступим со вторым выражением. Числитель первой дроби снова разложится на множители:

В третьем и четвертом примерах есть важный момент: после избавления от десятичной записи возникают сократимые дроби. Однако мы не будем выполнять это сокращение.

Последний пример интересен тем, что в числителе второй дроби стоит простое число. Здесь просто нечего разлагать на множители, поэтому считаем «напролом»:

Иногда в результате деления получается целое число (это я про последний пример). В таком случае третий шаг вообще не выполняется.

Кроме того, при делении часто возникают «некрасивые» дроби, которые нельзя перевести в десятичные. Этим деление отличается от умножения, где результаты всегда представимы в десятичной форме. Разумеется, в таком случае последний шаг опять же не выполняется.

Обратите также внимание на 3-й и 4-й примеры. В них мы намеренно не сокращаем обычные дроби, полученные из десятичных. Иначе это усложнит обратную задачу - представление конечного ответа снова в десятичном виде.

Запомните: основное свойство дроби (как и любое другое правило в математике) само по себе еще не означает, что его надо применять везде и всегда, при каждом удобном случае.