Подготовил подробный анализ одного варианта теста, предлагавшегося на централизованном тестировании по физике в Беларуси в 2007 и 2008 годах . Мы уверены, что этот материал будет интересен не только белорусским посетителям.
Тесты по предметам школьной программы, в том числе по физике (по астрономии тестов нет), подготовлены РИКЗ () и используются для тестирования будущих абитуриентов по предметам вступительных экзаменов в Республике Беларусь. Ответы к тестам централизованно проверяются РИКЗ, после чего выдается сертификат с указанием суммы полученных баллов (от 0 до 100), который абитуриент потом представляет в приемную комиссию ВУЗа.
На выполнение теста по физике отводится 180 минут (3 астрономических часа). Разрешается пользоваться калькуляторами , которые выполняют только простейшие вычисления (сложение, вычитание, умножение, деление, вычисление процентов).
2007 год
Для проведения централизованного тестирования (ЦТ) в Беларуси в 2007 г. было подготовлено 10 равноценных вариантов тестов . В каждом варианте предлагается 30 задач :
- 1-я группа задач (А1 – А23) – 23 задачи по физике открытого типа выбрать только один правильный.
- 2-я группа задач (В1 – В7) – 7 задач по физике закрытого типа : требуется решить задачу и записать полученный ответ
Цитируется по книге "Физика: сборник тестов " (Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь. - Минск: Аверсэв, 2007. - 94 c.).
2008 год
В 2008 г. структура теста несколько изменилась, хотя общее количество задач осталось прежним (30 задач ):
- 1-я группа задач (А1 – А18) – 18 задач по физике открытого типа : к каждой задаче предлагается 5 вариантов ответа, из которых нужно выбрать только один правильный.
- 2-я группа задач (В1 – В12) – 12 задач по физике закрытого типа : требуется решить задачу и записать полученный ответ в бланк, предварительно округлив его по правилам округления.
Цитируется по книге "Централизованное тестирование. Физика: сборник тестов " / Респ. ин-т контроля знаний М-ва образования Респ. Беларусь. - Минск: Аверсэв, 2008. - 94 c.
Первый раз в жизни ЦТ по русскому языку я сдавала 15 июня 2014 года. Высшее образование у меня давно есть: когда я поступала, были обычные экзамены, а не ЦТ. В университете, на факультете журналистики, я тоже изучила правила русской грамматики и стилистики. Но поскольку во времена работы в СМИ мои ошибки исправляли корректоры, знания основательно выветрились из памяти.
В последние годы, когда я начала выполнять копирайтерские заказы, а потом и преподавать копирайтинг, забытого стало не хватать. Врожденной грамотностью, т.е. хорошей визуальной памятью, меня природа не наградила, так что при проверке своих и чужих текстов мне приходится вспоминать правила из учебника. Копирайтер – сам себе корректор, да и ученики порой ставят запятые где попало и ждут обоснованных замечаний. Поэтому и решила повторить предмет, используя ЦТ как стимул. А кроме прокачки навыка грамотного письма, мне было важно получить результаты еще одного эксперимента, по самостоятельной организации учебного процесса.
При первых попытках заполнить тесты прошлых лет у меня бывало от 5 до 10 ошибок: показатель, обычный для школьника-хорошиста, который специально к тестированию не готовился. Но, в отличие от среднего школьника, я была уверена: качественно подготовиться к экзамену за короткий срок вполне реально. Эксперимент удался: сдала на 100 баллов.
Что такое «короткий срок» для подготовки к ЦТ по русскому?
Пособие, по которому я готовилась к ЦТЯ решила, что буду сдавать ЦТ, и впервые открыла пособие по подготовке к тестированию 26 апреля 2014 года. Последние дни апреля и весь май занималась не больше 4 часов в неделю. Чуть больше месяца ушло на то, чтобы прочесть, не останавливаясь на упражнениях, «Пособие для подготовки к обязательному централизованному тестированию» О.Горбацевич, Т.Ратько и Т. Бодаренко и выполнить несколько тестов за предыдущий год. В конце мая я купила дополнительный сборник тестов за 2008-2012 годы и с 1 до 14 июня занималась по 3 часа в день, подробно разбираясь с наиболее сложными темами и решая тесты за разные годы.
Таким образом, общее количество часов, посвященных исключительно подготовке к ЦТ – около 60, дополнительно иногда использовалось время поездок в транспорте. Все это время я продолжала работать и выполнять свои домашние обязанности.
В чем мне было проще, чем абитуриентам?
Если сравнивать меня с выпускником школы, то я выигрывала в том, что не была обременена выпускными экзаменами. У школьников было в те же сроки всего 2-3 дня, чтобы отвлечься от экзаменационных предметов и сосредоточить все внимание на ЦТ. По сравнению со среднестатистическим «взрослым» абитуриентом я выигрывала в том, что у меня – свободный график работы и равное разделение хозяйственных забот с супругом: это значит, что я могла выбирать для подготовки к тестам самое продуктивное время. Кроме того, я сдавала один, а не три теста.
Другим предстоит приспосабливаться к своим обстоятельствам. Это значит, скорее всего, что на повторение уйдет больше календарных дней. С другой стороны, если начинать готовиться заранее, то и знания будут более прочными. Тогда на итоговое повторение перед самым тестированием может потребоваться всего несколько часов.
В чем мне было сложнее, чем абитуриентам?
Говорят, с возрастом цепкость памяти ослабевает, и я в это отчасти верю. Кроме того, у меня не было уроков русского языка в школе и подготовки к школьному экзамену по тому же предмету. В последнем обстоятельстве есть и плюсы, и минусы. Потому что школьные задания по предмету тоже позволяют закреплять в памяти темы, вынесенные на ЦТ.
У меня не было учителей-консультантов, факультативов, репетиторов и курсов для поступающих. Никто не организовывал мой учебный процесс. Хотя последнее обстоятельство мне не мешало, потому что именно технологии самоорганизации я на себе и проверяла.
Чем из моего опыта подготовки к ЦТ можно воспользоваться?
Вот какие вещи мне кажутся общеупотребительными.
- Программа-максимум и программа-оптимум
Для теста, результаты которого оцениваются в баллах, и свои задачи просто определить в тех же единицах. У меня было две планки. Я хотела взять максимальную: именно затем, чтобы рассказывать об этом результате в подтверждение возможностей рационального самообразования. Но цель «100 баллов и не меньше» считаю контрпродуктивной. В любом деле есть элемент случайности, так что, решила я, от меня зависит сдать тест не меньше, чем на 90 баллов. В этом случае я смогу делиться своим опытом. Если будет меньше – значит, тестирование останется моим личным экспериментом.Программа-максимум, пожалуй, для всех может быть одинаковой: если кто-то сдает ЦТ на 100, то и вы можете. Проблема с оптимумом. Абитуриенты его, как величины прагматически ценной, на знают, ведь конкурс в конкретный вуз заранее не предскажешь. Думаю, упражняться в прогнозах и не стоит. Оптимум – тот балл, который вы сами будете считать достижением: он просто должен быть выше вашего же «обычного уровня». - Мотивация
Меня мотивировало желание написать этот текст, а затем пригласить желающих на курс по самоорганизации в учебе. Ведь сделать это я разрешила себе только при успешной сдаче теста. Но кроме этой цели, связанной с повторением школьной программы лишь косвенно, от подготовки к ЦТ была и простая житейская выгода. Тексты на заказ я пишу постоянно, как и исправляю ошибки начинающих копирайтеров. И постоянно сверяться с учебниками в процессе работы – лишняя трата времени.Как я предполагаю, и абитуриенты хотят поступить очень сильно, и это желание может побуждать к усилиям по подготовке к ЦТ. Но ведь заранее нельзя предсказать, какого именно балла хватит для поступления, и это расхолаживает. Может быть, если четче связывать подготовку к тестам с обретением практической грамотности, желание разобраться в правилах будет выше? С какими житейскими задачами связать тест по математике или химии я, правда, не знаю, но предполагаю, что если заранее выяснить, как используется конкретная наука в конкретной будущей профессии, то и в составлении химических уравнений можно найти смысл.Среди факторов мотивации ученые выделяют и процессуально-содержательные, подчеркивая их важность. Иначе говоря, чтобы работать с энтузиазмом, надо вдохновляться не только будущими результатами, но и самим процессом работы. У меня с этим проблем не было: разбираться с тем, как устроен язык, мне интересно. Если такого любопытства нет, а времени на подготовку еще достаточно, можно попытаться пробудить в себе живой интерес к лингвистике. Не получилось – что ж, усиливайте внешние стимулы, придумывайте себе дополнительные награды за учебу. - Сплошное поверхностное повторение и углубленное изучение трудных разделов
Как я уже говорила, сначала я просто неспешно читала пособие по подготовке к ЦТ. И в процессе чтения отмечала, какие разделы мне кажутся запутанными и невнятно изложенными. Параллельно выполняя тесты, я замечала вопросы, на которые не удается отвечать уверенно. Первыми кандидатами на второе повторение и изучение дополнительных источников были темы, которые касались сложными и при ответах на вопросы, и по ходу чтения пособия. На втором месте – то, в чем было непросто разобраться при чтении. А вот раздел «фонетика» было достаточно перечитать (и выписать количество букв и звуков) один раз. Какой-то он самодостаточный, в нем и школьники делают меньше всего ошибок. - Последовательность повторения
Русский язык (и белорусский для тех, кто его регулярно использует) – пожалуй, самые практичные предметы школьной программы. Ведь какие-нибудь тексты все мы пишем, и писать их грамотно - простое правило приличия. Поэтому ценность разделов «орфография» и «пунктуация» видят все сознательные абитуриенты. А вот разделы «морфология», «словообразование» и «синтаксис» на первый взгляд далеки от задач ежедневной жизни. Но ведь от состава слова и от того, к какой части речи оно относится, напрямую зависит его написание, а от строения предложения – расстановка знаков препинания. Поэтому с «непрактичных» разделов как раз стоит начинать и в них разбираться с максимально возможной тщательностью. А правописание вырастет на базе этих знаний уже почти без усилий. - Источники для повторения
Пособие, которым я пользовалась, репетиторы считают одним из лучших, но единственным оно быть не может. Чтобы полностью разобраться в сложных темах, нужны альтернативные источники. В Интернете их множество, важно уметь выбирать надежные. А если не умеешь – научиться. - Мнемоника
В сети «ВКонтакте» есть популярная группа «Запоминалки русского языка». Одно-два таких дидактических произведения накрепко врезалось в память еще со школы: ко второму же спряженью отнесем мы без сомненья…Кстати, а вы помните, что в этой рифмушке – далеко не все глаголы не на -ить, относящиеся ко второму спряжению? В нее не включены глаголы с ударным окончанием во множественном числе третьего лица, например, «гореть». Это я к тому, что не стоит заменять мнемоникой понимание вопроса. Хотя есть вещи, которые действительно нужно просто запомнить, и здесь мнемоника нам в помощь. Для самых запутанных правил я рисовала «карты правила» (по методике, изложенной в книге Васильевой Е.Е. и Васильева В.Ю. «Суперпамять, или как запомнить, чтобы вспомнить»), для запоминания перечней (например, разрядов местоимений по значению) использовала технику «Локи» (привязку слова к знакомому месту). Словарные слова с двойными согласными выписала на несколько листов бумаги и повесила на дверь, трудные для произношения -записала на диктофон и слушала в транспорте. Для проверки запоминания несколько раз рекрутировала дочку, чтобы она провела со мной словарный диктант. Вроде и все. - Самопроверка
Заполняя «тренировочные» тесты, я, конечно, проверяла результат заполнения. Причем с ответами при первой проверке не сверяла. И почти всякий раз сама находила у себя 1-2 ошибки «по невнимательности».
Почему-то думаю, что такие ошибки есть у большинства. Если бы у меня было больше времени на подготовку, то обязательно включила бы в программу отдельные упражнения на тренировку внимания. Но и простая самопроверка вполне действенна. Кстати, и в реальном своем экзаменационном тесте нашла у себя недостающую метку при самопроверке.
Я очень удивлялась, наблюдая за коллегами по сдаче ЦТ: почти все, кто ушел до меня, свои работы вообще не перечитывали. Почему? Ведь точно сделанные исправления здесь гарантированно повышают балл! - Стратегии для аудитории
Приходить на тестирование просят за полчаса, но конверты с тестами вскрывают ровно в 11. Смысл получаса сидения за партой не очень ясен. Времени на тест достаточно даже в условиях экзаменационного стресса, и большая часть тестируемых ушла задолго до финального звонка. Телефоны действительно требуют сдавать в гардероб, все сумочки, бумажки и даже футляры для очков собирают и вообще бдят постоянно. Списать нельзя.
Зато можно написать замечания к вопросам. Я писала сразу к двум из своего четвертого варианта теста. В формулировке одного из вопросов была грамматическая ошибка, второй (по анализу текста) был, на мой взгляд, некорректно сформулирован. Но учли ли мое последнее замечание или мои догадки в бланке теста просто совпали с тем, что имели в виду авторы, осталось для меня тайной. Одно очевидно: писать замечания к тестам безопасно, на выставляемый балл это не влияет. Скорее всего, эти замечания и с авторством бланка не соотносятся, потому что оформить свои соображения просили «покороче, чтобы включить в протокол» и подписи не требовали. - После тестирования
Я не хотела «сдать тест и забыть» и уже через несколько дней поняла необходимость регулярного повторения. Удачно выбранные клеточки в бланке тестирования - это еще не идеальная грамотность и не экспертные знания даже школьного курса.
Прочно запомнились правила, которые используются почти в каждом тексте: пунктуация при однородных членах предложения, окончания глаголов и существительных, написание часто используемых словарных слов. Для остального приходится периодически обращаться к словарям и справочникам. Завела привычку уточнять сомнительные моменты правописания после завершения работы над каждой статьей, установила приложение для интервальных повторений в смартфон - поэтому листать словари приходится все же не слишком часто.
Различия союзов и союзных слов, виды обстоятельств и разряды местоимений постепенно забываются. Но мои «карты правил» лежат в надежном месте, так что материал в памяти теперь можно возобновить не за полтора месяца, а за день. И это радует: мой опыт может еще не раз пригодиться другим.
Чем помогли самоорганизация и
learning
skills?
В старших классах американских школ и на первых курсах вузов и колледжей многие ученики проходят курсы learning skills, учебных навыков. У нас такой практики нет, так что я изучала этот предмет самостоятельно. Это общие навыки планирования и тайм-менеджмента, а также умение извлекать из текста главное (кстати, помогает в заданиях на анализ текста), конспектировать, работать в группе и индивидуально, запоминать разные виды информации. До эксперимента на себе я уже провела несколько мотивационных групп по самоорганизации в быту, и одну – по управлению личными проектами в любых сферах: часть навыков самоорганизации относятся к учебе точно так же, как к регулярному планированию меню.
Итак, вот учебные навыки, которые использовались при подготовке.
- Планирование времени, составление расписания
На последний день вся подготовка не осталась, и это хорошо. Запомнить большой объем информации за день при развитой оперативной памяти можно, а вот научиться применять правила – вряд ли. - Планирование последовательности работы
Разделы в учебниках идут не в самом удобном порядке. Но если уже пару раз составил диаграммы Ганта для толкового ремонта комнаты или наполнения сайта, то разобраться в нужной тебе лично последовательности тем для повторения проще. - Критическое мышление
Это тоже один из учебных навыков, который нужно применять как раз к выбору источников информации. В интернете есть как надежные ресурсы именно для самообучения, так и странички внешне вполне убедительные, но отражающие нужные данные только частично. Если не отличать первые от вторых, можно упустить важные моменты. - Правильные процедуры самообучения
На любом специализированном ресурсе по подготовке к ЦТ вы найдете много советов, смысл которых очевиден. Записывайте главное на бумаге, задействуйте разные органы чувств, больше читайте…Дьявол в деталях: как именно записывать это «главное», чтобы оно осталось не только на бумаге, что стоит проговаривать, а что лучше лишний раз потренировать на тестах, какие именно тексты полезно «больше читать», в решении каких задач это чтение может помочь. Ради этих процедур американцы и берут курсы learning skills. - Процессы «периодического обслуживания»
Стандартные процедуры, которые стоит выполнять, чтобы не растерять, в данном случае, добытые знания. Эти процедуры нужны и в процессе учебы, особенно растянутой на длительный срок. Ну а сейчас их еще нужно адаптировать к ситуации реального использования знаний.
Можно ли перенять мой опыт подготовки к ЦТ?
Думаю, можно. И мне лично интереснее,чтобы пригодился он не столько для заполнения бланков теста, сколько для улучшения практической грамотности. Ведь это тот навык, который будет нужен всю жизнь. А вместе с ним естественным путем можно усвоить и общие учебные навыки, те самые learning skills, с которыми никакой экзамен не страшен.
Эта идея легла в основу курса практической грамотности, который я уже сегодня предлагаю индивидуально пройти любому старшекласснику и взрослому. Общий маршрут похожий: определить, чего не знаешь, выбрать из всего объема знаний именно те, которые тебе нужны - и последовательно изучать, используя инструменты эффективного самообразования. Знакомьтесь с программой и приходите!
,
Как сдать ЦТ по русскому языку на 100 баллов? Личный опыт
Оставляйте вопросы и комментарии внизу под статьей
Вариант 1
Часть В
Задача В1. Для покраски стен общей площадью 175 м 2 планируется закупка краски. Объем и стоимость банок с краской приведены в таблице.
Какую минимальную сумму (в рублях) потратят на покупку необходимого количества краски, если ее расход составляет 0,2 л/м 2 ?
Решение.
Так как на 1 м 2 уходит 0,2 л краски, то на 175 м 2 потребуется объем краски, равный 175·0.2 = 35 л.
Таким образом, задача состоит в том, чтобы найти минимальную цену закупки 35 или более литров краски.
Определим стоимость 1 л краски в каждой из банок.
Цена литра в банке объемом 2.5 л равна: 75 000:2.5 = 30 000 руб., а цена литра в банке объемом 10 л равна 270 000:10 = 2 700 руб.
Так как в больших банках краска дешевле, то целесообразно набрать 35 л краски, используя только большие банки. Однако точно 35 л с помощью больших банок не наберешь, так как каждая из банок имеет объем 10 л. Здесь есть два варианта:
1. Покупаем 4 банки краски по 10 л. В итоге, имеем 40 л краски, что превышает нужные нам 35 литров. Цена краски в этом случае: 270 000·4 = 1 080 000 руб.
2. Покупаем 3 банки краски по 10 л и 2 банки краски по 2.5 л. В итоге у нас точно 35 л краски. Цена краски в этом случае: 3·270 000 + 2·75 000 = .960 000 руб.
Так как второй вариант дешевле первого, то минимальная сумма, необходимая для покупки нужного количества краски, равна 960 000 руб.
Ответ: 960 000.
Есть вопросы или комментарии к решению задачи? Задай их автору, Антону Лебедеву .
Задача В2. Найдите сумму корней (корень, е cли он единственный) уравнения
Решение.
Сначала заметим, что возведение обеих частей уравнения в квадрат – не очень хорошая идея в данном задании, так как в результате получим уравнение 4 степени, которое в общем случае не решается
В таких ситуациях следует искать обходные пути решения.
Для начала определим ОДЗ уравнения:
Полученное уравнение эквивалентно системе:
Замечание. Первое неравенство системы необходимо для того, чтобы избежать появления лишних корней: если мы просто возведем в квадрат обе части, то к корням уравнения добавятся еще и корни уравнения .
Итак, решаем уравнение из записанной системы:
Очевидно, неравенству из системы удовлетворяет только второй из найденных корней.
Таким образом, исходное уравнение имеет лишь один корень, равный 9.
Ответ: 9.
Задача В3. В равнобедренную трапецию, площадь которой равна , вписана окружность. Сумма двух углов трапеции равна 60°. Найдите периметр трапеции.
Решение.
Пусть ABCD – заданная трапеция.
Так как трапеция равнобедренная, то углы при основании трапеции равны:
.
По условию, сумма двух углов трапеции равна 60° . Очевидно, речь идет о двух острых углах, так как 60° < 90° , значит, в наших обозначениях речь идет как раз об углах BAD и CDA. Так как они равны, а их сумма равна 60° , то каждый из них равен 30° .
Как известно, не в каждую трапецию (и не в каждую равнобедренную трапецию) можно вписать окружность, значит, тот факт, что в нашу трапецию вписана окружность, дает нам некоторую дополнительную информацию. Окружность можно вписать только в такую трапецию, у которой сумма оснований равна сумме боковых сторон. В нашем случае должно быть:
Так как трапеция равнобедренная, то AB = CD . Обозначим боковые стороны через x .
Тогда получаем
где MN – средняя линия трапеции.
Высоту трапеции ВК также выразим через x . Для этого рассмотрим прямоугольный треугольник ABK.
.
Тогда сумма боковых сторон равна 2x = 17, а периметр трапеции равен 34 (сумма оснований равна сумме боковых сторон).
Ответ: 34.
Задача В4. Пусть (x, y) - решение системы уравнений
Найдите значение выражения 5y - x .
Решение.
Преобразуем второе уравнение системы:
С учетом первого уравнения получаем:
Вычисляем значение выражения:
Ответ: 23.
Задача В5. Найдите значение выражения
Решение.
Замечание. Наиболее частые проблемы абитуриентов при решении таких примеров - это неумение избавляться от иррациональности в знаменателе путем домножения на сопряженное и незнание того, что порядок вычисления последовательных корней не имеет значения (например, ).
Ответ: -22.
Задача В6. Найдите сумму корней уравнения.
Решение.
Перед началом решения произносим магическую фразу: «Произведение равно нулю, если хотя бы один из сомножителей равен нулю». После этого уравнение чудесным образом распадается на совокупность:
Первое уравнение совокупности имеет единственный корень x = 81.
Преобразуем второе уравнение:
Дальнейшее решение проводим с помощью замены переменной:
Получаем
(корни найдены с помощью обратной теоремы Виета).
Отрицательный корень нам не подходит, поэтому получаем
Значит, исходное уравнение имеет два корня: 1 и 81.
Их сумма равна 82.
Ответ: 82.
Задача В7. Найдите площадь боковой поверхности правильной треугольной пирамиды, если длина биссектрисы ее основания равна и плоский угол при вершине равен .
Решение.
Пусть SABC – правильная треугольная пирамида.
Треугольник ABC – основание пирамиды, причем этот треугольник является правильным.
Биссектриса и является также высотой треугольника АВС, поэтому
Площадь боковой поверхности правильной пирамид равна S = SK · p ,
где
- полупериметр основания;
Апофема.
Тогда
S = 12·5 = 60 .
Ответ: 60.
Задача В8. Найдите сумму наименьшего и наибольшего целых решений неравенства
Решение.
Учитывая то, что логарифм – возрастающая функция, если его основание больше 1 и убывающая, если его основание меньше 1, а также то, что подлогарифменное выражение должно быть положительным, получаем:
Наименьшим целым решением является число -5, а наибольшим – число 65. Их сумма равна 60.
Ответ: 60.
Задача В9. Найдите (в градусах) сумму корней уравнения 10sin5x · cos5x + 5sin10x · co18x = 0 на промежутке (110° ; 170° ).
Решение.
С помощь формулы двойного аргумента преобразуем первое слагаемой левой части:
Так как из всех найденных корней нужно выбрать те из них, которые лежат на промежутке (110 ° ; 170 ° ) , то
Выписываем соответствующие корни:
126 °; 144 °; 162 °
130 °; 150 °.
Сумма найденных решений равна 712.
Ответ: 712.
Задача В10. Найдите произведение наименьшего и наибольшего целых решений неравенства
Решение.
Преобразуем исходное неравенство:
Полученное в результате неравенство можно решить, например, методом интервалов. Для этого найдем сначала корни соответствующего уравнения:
Найденные корни нанесем на числовую ось. Эти корни разбивают выражение (|x + 5| - 4)(|x - 3| - 1) на интервалы знакопостоянства. Определим знак записанного выражения на каждом из интервалов, подставив любую точку из заданного интервала в выражение. Например для определения знака выражения на крайнем правом интервале возьмем точку x = 5 и получим, что значение выражения в этой точке положительно, а значит, выражение будет положительным и на всем интервале.
Теперь можем записать решение неравенства (соответствующая область заштрихована на рисунке):
.
Наименьшее целое число из этой области: x min = -8, а наибольшее целое x max = 3. Произведение этих чисел -8· 3 = -24. Это число и следует записать в ответ.
Ответ: -24.
Задача В11. Точка А движется по периметру треугольника KMP. Точки K 1 , M 1, P 1 лежат на медианах треугольника KMP и делят их в отношении 11:3, считая от вершин. По периметру треугольника K 1 M 1 P 1 движется точка В со скоростью, в пять раз большей, чем скорость точки А. Сколько раз точка В обойдет по периметру треугольник K 1 M 1 P 1 за то время, за которое точка А два раза обойдет по периметру треугольник KMP.
Решение.
Сделаем чертеж к задаче. О – точка пересечения медиан исходного треугольника.
Интуитивно понятно, что треугольники K M P и K 1 M 1 P 1 должны быть подобны. Однако интуиция лишь подсказывает путь решения задачи, поэтому подобие указанных треугольников нужно еще доказать.
Для доказательства подобия рассмотрим треугольники KOM и K 1 OM 1 .
MM’ – медиана треугольника KMP, поэтому , так как медианы треугольника делятся в отношении 2 к 1, считая от вершины.
Из условия задачи следует, что , так как точка M 1 делит медианту MM’ в отношении 11 к 3, считая от вершины.
Тогда
Отношение
.
Аналогично можно показать, что
Кроме того, как вертикальные.
Значит, треугольники KOM и K 1 OM 1 подобны по двум сторонам и углу между ними с коэффициентом подобия .
Тогда
Аналогично
.
Это значит, что треугольники K M P и K 1 M 1 P 1 подобны с коэффициентом подобия и периметр треугольника K M P в раз больше периметра треугольника K 1 M 1 P 1 .
Так как точка В движется со скоростью в 5 раз большей скорости точки А по треугольнику, периметр которого в раз меньше, чем периметр треугольника KMР, то за время одного оборота точки А, точка В делает оборотов, а за время двух оборотов точки А точка В сделает 56 оборотов.
Ответ: 56.
Задача В12. Объем прямоугольного параллелепипеда ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 равен 1728. Точка Р лежит на боковом ребре CC 1 так, что CP :PC 1 = 2:1. Через точку Р, вершину D и середину бокового ребра AA 1 проведена секущая плоскость, которая делит прямоугольны параллелепипед на две части. Найти объем меньшей из частей.
Решение.
Изобразим параллелепипед на чертеже и построим описанное сечение PDKEF. K – середина ребра AA 1 .
Изобразим на чертеже линии, по которым плоскость сечения пересекает плоскости трех граней параллелепипеда. Точки, в которых плоскость сечения пересекает прямые BA, BC и BB 1 обозначим через Z , Q , S .
Тело SZBQ - пирамида, в основании которой лежит прямоугольный треугольник ZBQ. Эта пирамида включает в себя объем нижней части параллелепипеда и объемы трех пирамидок SEB 1 F , QPCD , ZKAD .
Для нахождения объема нижней части параллелепипеда найдем объемы указанных пирамидок.
Для удобства вычислений обозначим стороны параллелепипеда через x , y и z , тогда объем параллелепипеда V = xyz = 1728.
Кроме того,
.
Задача состоит в выражении размеров указанных четырех пирамид через x , y и z .
Треугольники FC 1 P и DAK подобны по двум углам (все стороны этих треугольников попарно параллельны).
Тогда
.
Треугольники PCD и KA 1 E также подобны, поэтому
.
Из подобия треугольников SB 1 F и PC1 F следует:
.
Объем пирамиды SEB 1 F равен:
Пирамида QPCD подобна пирамиде SEB 1 F с коэффициентом подобия:
.
Тогда объем пирамиды QPCD равен:
Аналогично пирамида ZKAD подобна пирамиде SEB 1 F с коэффициентом подобия
Тогда объем пирамиды ZKAD равен:
Наконец, пирамида SZBQ подобна пирамиде SEB 1 F с коэффициентом подобия
.
Тогда объем пирамиды SZBQ равен:
Объем нижней части параллелепипеда:
Тогда объем верхней части:
Так как нам нужен меньший объем, то правильный ответ 724.
Ответ: 724.