Рассмотрим на плоскости прямую и точку, не лежащую на этой прямой. И эллипс , и гипербола могут быть определены единым образом как геометрическое место точек, для которых отношение расстояния до данной точки к расстоянию до данной прямой есть постоянная вели-
чина ε. При 0 1 - гипербола. Параметр ε является эксцентриситетом как эллипса, так и гиперболы . Из возможных положительных значений параметра ε одно, а именно ε = 1, оказывается незадействованным. Этому значению соответствует геометрическое место точек, равноудаленных от данной точки и от данной прямой.
Определение 8.1. Геометрическое место точек плоскости, равноудаленных от фиксированной точки и от фиксированной прямой, называют параболой.
Фиксированную точку называют фокусом параболы , а прямую - директрисой параболы . При этом полагают, что эксцентриситет параболы равен единице.
Из геометрических соображений вытекает, что парабола симметрична относительно прямой, перпендикулярной директрисе и проходящей через фокус параболы. Эту прямую называют осью симметрии параболы или просто осью параболы . Парабола пересекается со своей осью симметрии в единственной точке. Эту точку называют вершиной параболы . Она расположена в середине отрезка, соединяющего фокус параболы с точкой пересечения ее оси с директрисой (рис. 8.3).
Уравнение параболы. Для вывода уравнения параболы выберем на плоскости начало координат в вершине параболы, в качестве оси абсцисс - ось параболы, положительное направление на которой задается положением фокуса (см. рис. 8.3). Эту систему координат называют канонической для рассматриваемой параболы, а соответствующие переменные - каноническими .
Обозначим расстояние от фокуса до директрисы через p. Его называют фокальным параметром параболы .
Тогда фокус имеет координаты F(p/2; 0), а директриса d описывается уравнением x = - p/2. Геометрическое место точек M(x; y), равноудаленных от точки F и от прямой d, задается уравнением
Возведем уравнение (8.2) в квадрат и приведем подобные. Получим уравнение
которое называют каноническим уравнением параболы .
Отметим, что возведение в квадрат в данном случае - эквивалентное преобразование урав-нения (8.2), так как обе части уравнения неотрицательны, как и выражение под радикалом.
Вид параболы. Если параболу у 2 = x, вид которой считаем известным, сжать с коэффициентом 1/(2р) вдоль оси абсцисс, то получится парабола общего вида, которая описывается уравнением (8.3).
Пример 8.2. Найдем координаты фокуса и уравнение директрисы параболы, если она проходит через точку, канонические координаты которой (25; 10).
В канонических координатах уравнение параболы имеет вид у 2 = 2px. Поскольку точка (25; 10) находится на параболе, то 100 = 50p и поэтому p = 2. Следовательно, у 2 = 4x является каноническим уравнением параболы, x = - 1 - уравнением ее директрисы, а фокус находится в точке (1; 0).
Оптическое свойство параболы. Парабола имеет следующее оптическое свойство . Если в фокус параболы поместить источник света, то все световые лучи после отражения от параболы будут параллельны оси параболы (рис. 8.4). Оптическое свойство означает, что в любой точке M параболы нормальный вектор касательной составляет с фокальным радиусом MF и осью абсцисс одинаковые углы.
Во всей этой главе предполагается, что в плоскости (в которой лежат все рассматриваемые далее фигуры) выбран определенный масштаб; рассматриваются лишь прямоугольные системы координат с этим масштабом.
§ 1. Парабола
Парабола известна читателю из школьного курса математики как кривая, являющаяся графиком функции
(рис. 76). (1)
График любого квадратного трехчлена
также является параболой; можно посредством одного лишь сдвига системы координат (на некоторый вектор ОО), т. е. преобразования
достигнуть того, чтобы график функции (во второй системе координат) совпадал с графиком (2) (в первой системе координат).
В самом деле, произведем подстановку (3) в равенство (2). Получим
Мы хотим подобрать так, чтобы коэффициент при и свободный член многочлена (относительно ) в правой части этого равенства были равны нулю. Для этого определяем из уравнения
что и дает
Теперь определяем из условия
в которое подставляем уже найденное значение . Получим
Итак, посредством сдвига (3), в котором
мы перешли к новой системе координат, в которой уравнение параболы (2) получило вид
(рис. 77).
Вернемся к уравнению (1). Оно может служить определением параболы. Напомним ее простейшие свойства. Кривая имеет ось симметрии: если точка удовлетворяет уравнению (1), то точка симметричная точке М относительно оси ординат, также удовлетворяет уравнению (1) - кривая симметрична относительно оси ординат (рис. 76).
Если , то парабола (1) лежит в верхней полуплоскости , имея с осью абсцисс единственную общую точку О.
При неограниченном возрастании модуля абсцисс ордината также неограниченно возрастает. Общий вид кривой дай на рис. 76, а.
Если (рис. 76, б), то кривая расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси абсцисс к кривой .
Если перейти к новой системе координат, полученной из старой заменой положительного направления оси ординат на противоположное, то парабола, имеющая в старой системе уравнение , получит в новой системе координат уравнение у . Поэтому при изучении парабол можно ограничиться уравнениями (1), в которых .
Поменяем, наконец, названия осей, т. е. перейдем к иовой системе координат, в которой осью ординат будет старая ось абсцисс, а осью абсцисс - старая ось ординат. В этой новой системе уравнение (1) запишется в виде
Или, если число - обозначить через , в виде
Уравнение (4) называется в аналитической геометрии каноническим уравнением параболы; прямоугольная система координат, в которой данная парабола имеет уравнение (4), называется канонической системой координат (для этой параболы).
Сейчас мы установим геометрический смысл коэффициента . Для этого берем точку
называемую фокусом параболы (4), и прямую d, определенную уравнением
Эта прямая называется директрисой параболы (4) (см. рис. 78).
Пусть - произвольная точка параболы (4). Из уравнения (4) следует, что Поэтому расстояние точки М от директрисы d есть число
Расстояние точки М от фокуса F есть
Но , поэтому
Итак, все точки М параболы равноудалены от ее фокуса и директрисы:
Обратно, каждая точка М, удовлетворяющая условию (8), лежит на параболе (4).
В самом деле,
Следовательно,
и, после раскрытия скобок и приведения подобных членов,
Мы доказали, что каждая парабола (4) есть геометрическое место точек, равноудаленных от фокуса F и от директрисы d этой параболы.
Вместе с тем мы установили и геометрический смысл коэффициента в уравнении (4): число равно расстоянию между фокусом и директрисой параболы.
Пусть теперь на плоскости даны произвольно точка F и прямая d, не проходящая через эту точку. Докажем, что существует парабола с фокусом F и директрисой d.
Для этого проведем через точку F прямую g (рис. 79), перпендикулярную к прямой d; точку пересечения обеих прямых обозначим через D; расстояние (т. е. расстояние между точкой F и прямой d) обозначим через .
Прямую g превратим в ось, прнняв на ней направление DF в качестве положительного. Эту ось сделаем осью абсцисс прямоугольной системы координат, началом которой является середина О отрезка
Тогда и прямая d получает уравнение .
Теперь мы можем в выбранной системе координат написать каноническое уравнение параболы:
причем точка F будет фокусом, а прямая d - директрисой параболы (4).
Мы установили выше, что парабола есть геометрическое место точек М, равноудаленных от точки F и прямой d. Итак, мы можем дать такое геометрическое (т. е. не зависящее ни от какой системы координат) определение параболы.
Определение. Параболой называется геометрическое место точек, равноудаленных от некоторой фиксированной точки («фокуса» параболы) и некоторой фиксированной прямой («директрисы» параболы).
Обозначая расстояние между фокусом и директрисой параболы через , мы можем всегда найти прямоугольную систему координат, каноническую для данной параболы, т. е. такую, в которой уравнение параболы имеет канонический вид:
Обратно, всякая кривая, имеющая такое уравнение в некоторой прямоугольной системе координат, является параболой (в только что установленном геометрическом смысле).
Расстояние между фокусом и директрисой параболы называется фокальным параметром, или просто параметром параболы.
Прямая, проходящая через фокус перпендикулярно к директрисе параболы, называется ее фокальной осью (или просто осью); она является осью симметрии параболы - это вытекает из того, что ось параболы является осью абсцисс в системе координат, относительно которой уравнение параболы имеет вид (4).
Если точка удовлетворяет уравнению (4), то этому уравнению удовлетворяет и точка , симметричная точке М относительно оси абсцисс.
Точка пересечения параболы с ее осью называется вершиной параболы; она является началом системы координат, канонической для данной параболы.
Дадим еще одно геометрическое истолкование параметра параболы.
Проведем через фокус параболы прямую, перпендикулярную к оси параболы; она пересечет параболу в двух точках (см. рис. 79) и определит так называемую фокальную хорду параболы (т. е. хорду, проходящую через фокус параллельно директрисе параболы). Половина длины фокальной хорды и есть параметр параболы.
В самом деле, половина длины фокальной хорды есть абсолютная величина ординаты любой из точек , абсцисса каждой из которых равна абсциссе фокуса, т. е. . Поэтому для ординаты каждой из точек имеем
что и требовалось доказать.
Остальным же читателям предлагаю существенно пополнить свои школьные знания о параболе и гиперболе. Гипербола и парабола – это просто? …Не дождётесь =)
Гипербола и её каноническое уравнение
Общая структура изложения материала будет напоминать предыдущий параграф. Начнём с общего понятия гиперболы и задачи на её построение.
Каноническое уравнение гиперболы имеет вид , где – положительные действительные числа. Обратите внимание, что в отличие от эллипса , здесь не накладывается условие , то есть, значение «а» может быть и меньше значения «бэ».
Надо сказать, довольно неожиданно… уравнение «школьной» гиперболы и близко не напоминает каноническую запись. Но эта загадка нас ещё подождёт, а пока почешем затылок и вспомним, какими характерными особенностями обладает рассматриваемая кривая? Раскинем на экране своего воображения график функции ….
У гиперболы две симметричные ветви.
Неплохой прогресс! Данными свойствами обладает любая гипербола, и сейчас мы с неподдельным восхищением заглянем в декольте этой линии:
Пример 4
Построить гиперболу, заданную уравнением
Решение
: на первом шаге приведём данное уравнение к каноническому виду . Пожалуйста, запомните типовой порядок действий. Справа необходимо получить «единицу», поэтому обе части исходного уравнения делим на 20:
Здесь можно сократить обе дроби, но оптимальнее сделать каждую из них трёхэтажной
:
И только после этого провести сокращение:
Выделяем квадраты в знаменателях:
Почему преобразования лучше проводить именно так? Ведь дроби левой части можно сразу сократить и получить . Дело в том, что в рассматриваемом примере немного повезло: число 20 делится и на 4 и на 5. В общем случае такой номер не проходит. Рассмотрим, например, уравнение . Здесь с делимостью всё печальнее и без трёхэтажных дробей
уже не обойтись:
Итак, воспользуемся плодом наших трудов – каноническим уравнением :
Как построить гиперболу?
Существует два подхода к построению гиперболы – геометрический и алгебраический.
С практической точки зрения вычерчивание с помощью циркуля... я бы даже сказал утопично, поэтому гораздо выгоднее вновь привлечь на помощь нехитрые расчёты.
Целесообразно придерживаться следующего алгоритма, сначала готовый чертёж, потом комментарии:
На практике часто встречается комбинация поворота на произвольный угол и параллельного переноса гиперболы. Данная ситуация рассматривается на уроке Приведение уравнения линии 2-го порядка к каноническому виду .
Парабола и её каноническое уравнение
Свершилось! Она самая. Готовая раскрыть немало тайн. Каноническое уравнение параболы имеет вид , где – действительное число. Нетрудно заметить, что в своём стандартном положении парабола «лежит на боку» и её вершина находится в начале координат. При этом функция задаёт верхнюю ветвь данной линии, а функция – нижнюю ветвь. Очевидно, что парабола симметрична относительно оси . Собственно, чего париться:
Пример 6
Построить параболу
Решение
: вершина известна, найдём дополнительные точки. Уравнение 
определяет верхнюю дугу параболы, уравнение – нижнюю дугу.
В целях сократить запись вычисления проведём «под одной гребёнкой» :
Для компактной записи результаты можно было свести в таблицу.
Перед тем, как выполнить элементарный поточечный чертёж, сформулируем строгое
определение параболы:
Параболой называется множество всех точек плоскости, равноудалённых от данной точки и данной прямой , не проходящей через точку .
Точка называется фокусом
параболы, прямая – директрисой
(пишется с одной «эс»)
параболы. Константа «пэ» канонического уравнения называется фокальным параметром
, который равен расстоянию от фокуса до директрисы. В данном случае . При этом фокус имеет координаты , а директриса задаётся уравнением .
В нашем примере :
Определение параболы понимается ещё проще, чем определения эллипса и гиперболы. Для любой точки параболы длина отрезка (расстояние от фокуса до точки) равна длине перпендикуляра (расстоянию от точки до директрисы):
Поздравляю! Многие из вас сегодня сделали самое настоящие открытие. Оказывается, гипербола и парабола вовсе не являются графиками «рядовых» функций, а имеют ярко выраженное геометрическое происхождение.
Очевидно, что при увеличении фокального параметра ветви графика будут «раздаваться» вверх и вниз, бесконечно близко приближаясь к оси . При уменьшении же значения «пэ» они начнут сжиматься и вытягиваться вдоль оси
Эксцентриситет любой параболы равен единице:
Поворот и параллельный перенос параболы
Парабола – одна из самых распространённых линий в математике, и строить её придётся действительно часто. Поэтому, пожалуйста, особенно внимательно отнестись к заключительному параграфу урока, где я разберу типовые варианты расположения данной кривой.
! Примечание : как и в случаях с предыдущими кривыми, корректнее говорить о повороте и параллельном переносе координатных осей, но автор ограничится упрощённым вариантом изложения, чтобы у читателя сложились элементарные представления о данных преобразованиях.
Задача № 1. Определить координаты фокусов и составить уравнение директрисы параболы
Сравнивая это
уравнение с уравнением
,
находим, что 2p=4,
откуда
.
Таким образом, точка
-
фокусы параболы, а прямая
,
т. е. x=-1
или x+1=0
– её директриса.
Ответ: (1;0)
Задача № 2. Фокусы параболы с вершиной в начале координат лежит в точке F(0;-4). Написать уравнение этой параболы.
Задача № 3. Директрисой параболы с вершиной в начале координат служит прямая 2x+5=0
Написать уравнение и найти координаты фокуса параболы.
Р
ешение:
Так как директрисой параболы с вершиной
в начале координат служит прямая 2x+5=0
или
,
то ее фокус имеет координаты
,
поэтому искомая кривая симметрична
относительно оси Оx
F(
)
и ветви ее направлены вправо (абсцисса
фокуса
положительна). Следовательно, уравнение
параболы имеет вид
Так как
то
и уравнение параболы будет:
,
а координаты ее фокуса F(2,5;0)
Ответ:
;
F(2,5;0)
Задача №4. Написать уравнение параболы, симметричной относительно оси Оy, с центром в начале системы координат, если она проходит через точку В(1;-2).
Так как парабола
симметрична относительно оси Оy
и имеет вершину в начале системы
координат, то ее уравнение имеет вид
.
Поскольку точка В(1;-2) лежит на параболе,
то ее координаты удовлетворяют параболы,
т.е.
,
Откуда
,
и, следовательно,
-
уравнение параболы.
Ответ:
Задача № 5. Найти
высоту арки моста длиной 24м, если арка
имеет вид параболы, уравнение которой
Построим эскиз
параболы
в декартовой прямоугольной системе
координат. Обозначим через h
высоту моста, а через
=24
- длину арки мосту. Тогда, А(12;-h)
П:
.
Т
ак
как точка А принадлежит параболе
,
то ее координаты удовлетворяют уравнению
параболы. Это дает возможность вместо
текущих координат (x;y)
подставить координаты
данной точки в уравнение параболы. Тогда
имеем
Итак, высота арки моста 3 м.
Задача № 6. Струя воды, направленная под углом к плоскости горизонта поднимается на высоту 2 м и падает в 12 м от наконечника шланга. Найти параболическую траекторию струи.
Решение: Свяжем параболическую траекторию струи с декартовой прямоугольной системой координат так, чтобы параболическая траектория была симметрична оси Оy, ветви были бы направлены вниз, а ее вершина лежала бы в начале координат.
Тогда уравнение
такой параболической траектории имеет
вид
,
точка А(6;-2)
П:
,
следовательно, ее координаты удовлетво-ряют
уравнению параболы. Подстановка координат
точки А вместо текущих
координатx
и y
параболы
,
дает равенство
.
Следовательно,
- уравнение параболической траектории
струи.
Ответ:
Решить самостоятельно:
Задача № 7. Сечение рефлектора плоскостью проходящей через ось рефлектора, есть парабола. Написать ее уравнение, если ширина рефлектора 30 см, а глубина 20 см, (ось рефлектора совпадает с осью Ox)
Ответ:
Задача № 8. Из
отверстия, находящегося на поверхности
земли вытекает вода струей, представляющей
ветвь параболы
.
На каком расстоянии от края бака падает
струя на землю, если высота отверстия
Ответ: 3 м.
Задача № 9. Осевое
сечение параболического зеркала является
параболой
Определить диаметр зеркала, если его «глубина» равна 18,75 см.
Ответ: 30 см.
Задача № 10. Камень брошенный под острым углом к плоскости горизонта, достиг наибольшей высоты 16 м., Описав параболическую траекторию, камень упал в 48 м., от точки бросания. Найти траекторию камня.
Ответ:
.
Задача № 11 Найти параболу с вершиной в начале координат, если ее фокус лежит в точке а) F(3;0); б) F(-2;0); в) F(0;4); г) F(0;-)
Ответ: а)
;
б)
;
в)
;
г)
Задача № 12 Найти
параболы с вершиной в начале координат,
если даны директрисы: а)
;
б)x=-5
; в) y=3
; г) y=-2
;
Ответ: а)
;
б)
;
в)
; г)
.
Задача № 13. Найти координаты фокуса и написать уравнение директрисы для каждой из парабол.
а)
;
б)
;
в)
; г)
.
Построить эти параболы.
Ответ: а) F(2;0); x+2=0 ; б) F(-3;0); x-3=0 ; в) F(0;); 2y+5=0
г) F(0;-4); x-4=0
Задача № 14.
Проверить, лежат ли точки А(2;-2) и В(1;2) на
параболе
Ответ: А лежат, В не лежат.
Задача № 15. Написать уравнение параболы с вершиной в начале координат, симметричной относительно оси Оx и проходящей через точку
Ответ:
Задача № 16. Напишите уравнение параболы с вершиной в начале координат, если:
А) парабола расположена в верхней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 4;
Б) парабола расположена в нижней полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 6;
В) парабола расположена в правой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 3;
г) парабола расположена в левой полуплоскости симметрично относительно оси ординат, а ее фокальный параметр равен 5.
Ответ а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
Загрузка...
