Итак, перед нами степени двойки. Если взять число из нижней строчки, то можно легко найти степень, в которую придется возвести двойку, чтобы получилось это число. Например, чтобы получить 16, надо два возвести в четвертую степень. А чтобы получить 64, надо два возвести в шестую степень. Это видно из таблицы.
А теперь - собственно, определение логарифма:
Логарифм по основанию a от аргумента x - это степень, в которую надо возвести число a , чтобы получить число x .
Обозначение: log a x = b , где a - основание, x - аргумент, b - собственно, чему равен логарифм.
Например, 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (логарифм по основанию 2 от числа 8 равен трем, поскольку 2 3 = 8). С тем же успехом log 2 64 = 6 , поскольку 2 6 = 64 .
Операцию нахождения логарифма числа по заданному основанию называют логарифмированием. Итак, дополним нашу таблицу новой строкой:
| 2 1 | 2 2 | 2 3 | 2 4 | 2 5 | 2 6 |
| 2 | 4 | 8 | 16 | 32 | 64 |
| log 2 2 = 1 | log 2 4 = 2 | log 2 8 = 3 | log 2 16 = 4 | log 2 32 = 5 | log 2 64 = 6 |
К сожалению, далеко не все логарифмы считаются так легко. Например, попробуйте найти log 2 5 . Числа 5 нет в таблице, но логика подсказывает, что логарифм будет лежать где-то на отрезке . Потому что 2 2 < 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.
Такие числа называются иррациональными: цифры после запятой можно писать до бесконечности, и они никогда не повторяются. Если логарифм получается иррациональным, его лучше так и оставить: log 2 5 , log 3 8 , log 5 100 .
Важно понимать, что логарифм - это выражение с двумя переменными (основание и аргумент). Многие на первых порах путают, где находится основание, а где - аргумент. Чтобы избежать досадных недоразумений, просто взгляните на картинку:
Перед нами - не что иное как определение логарифма. Вспомните: логарифм - это степень , в которую надо возвести основание, чтобы получить аргумент. Именно основание возводится в степень - на картинке оно выделено красным. Получается, что основание всегда находится внизу! Это замечательное правило я рассказываю своим ученикам на первом же занятии - и никакой путаницы не возникает.
С определением разобрались - осталось научиться считать логарифмы, т.е. избавляться от знака «log». Для начала отметим, что из определения следует два важных факта:
- Аргумент и основание всегда должны быть больше нуля. Это следует из определения степени рациональным показателем, к которому сводится определение логарифма.
- Основание должно быть отличным от единицы, поскольку единица в любой степени все равно остается единицей. Из-за этого вопрос «в какую степень надо возвести единицу, чтобы получить двойку» лишен смысла. Нет такой степени!
Такие ограничения называются областью допустимых значений (ОДЗ). Получается, что ОДЗ логарифма выглядит так: log a x = b ⇒ x > 0 , a > 0 , a ≠ 1 .
Заметьте, что никаких ограничений на число b (значение логарифма) не накладывается. Например, логарифм вполне может быть отрицательным: log 2 0,5 = −1 , т.к. 0,5 = 2 −1 .
Впрочем, сейчас мы рассматриваем лишь числовые выражения, где знать ОДЗ логарифма не требуется. Все ограничения уже учтены составителями задач. Но когда пойдут логарифмические уравнения и неравенства, требования ОДЗ станут обязательными. Ведь в основании и аргументе могут стоять весьма неслабые конструкции, которые совсем необязательно соответствуют приведенным выше ограничениям.
Теперь рассмотрим общую схему вычисления логарифмов. Она состоит из трех шагов:
- Представить основание a и аргумент x в виде степени с минимально возможным основанием, большим единицы. Попутно лучше избавиться от десятичных дробей;
- Решить относительно переменной b уравнение: x = a b ;
- Полученное число b будет ответом.
Вот и все! Если логарифм окажется иррациональным, это будет видно уже на первом шаге. Требование, чтобы основание было больше единицы, весьма актуально: это снижает вероятность ошибки и значительно упрощает выкладки. Аналогично с десятичными дробями: если сразу перевести их в обычные, ошибок будет в разы меньше.
Посмотрим, как работает эта схема на конкретных примерах:
Задача. Вычислите логарифм: log 5 25
- Представим основание и аргумент как степень пятерки: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
- Получили ответ: 2.
Составим и решим уравнение:
log 5 25 = b
⇒ (5 1) b
= 5 2 ⇒ 5 b
= 5 2 ⇒ b
= 2 ;
Задача. Вычислите логарифм:
Задача. Вычислите логарифм: log 4 64
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
- Составим и решим уравнение:
log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3 ; - Получили ответ: 3.
Задача. Вычислите логарифм: log 16 1
- Представим основание и аргумент как степень двойки: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
- Составим и решим уравнение:
log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0 ; - Получили ответ: 0.
Задача. Вычислите логарифм: log 7 14
- Представим основание и аргумент как степень семерки: 7 = 7 1 ; 14 в виде степени семерки не представляется, поскольку 7 1 < 14 < 7 2 ;
- Из предыдущего пункта следует, что логарифм не считается;
- Ответ - без изменений: log 7 14.
Небольшое замечание к последнему примеру. Как убедиться, что число не является точной степенью другого числа? Очень просто - достаточно разложить его на простые множители. Если в разложении есть хотя бы два различных множителя, число не является точной степенью.
Задача. Выясните, являются ли точными степенями числа: 8; 48; 81; 35; 14 .
8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - точная степень, т.к. множитель всего один;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - не является точной степенью, поскольку есть два множителя: 3 и 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - точная степень;
35 = 7 · 5 - снова не является точной степенью;
14 = 7 · 2 - опять не точная степень;
Заметим также, что сами простые числа всегда являются точными степенями самих себя.
Десятичный логарифм
Некоторые логарифмы встречаются настолько часто, что имеют специальное название и обозначение.
Десятичный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию 10, т.е. степень, в которую надо возвести число 10, чтобы получить число x . Обозначение: lg x .
Например, lg 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - и т.д.
Отныне, когда в учебнике встречается фраза типа «Найдите lg 0,01», знайте: это не опечатка. Это десятичный логарифм. Впрочем, если вам непривычно такое обозначение, его всегда можно переписать:
lg x
= log 10 x
Все, что верно для обычных логарифмов, верно и для десятичных.
Натуральный логарифм
Существует еще один логарифм, который имеет собственное обозначение. В некотором смысле, он даже более важен, чем десятичный. Речь идет о натуральном логарифме.
Натуральный логарифм от аргумента x - это логарифм по основанию e , т.е. степень, в которую надо возвести число e , чтобы получить число x . Обозначение: ln x .
Многие спросят: что еще за число e
? Это иррациональное число, его точное значение найти и записать невозможно. Приведу лишь первые его цифры:
e
= 2,718281828459...
Не будем углубляться, что это за число и зачем нужно. Просто помните, что e
- основание натурального логарифма:
ln x
= log e
x
Таким образом, ln e = 1 ; ln e 2 = 2 ; ln e 16 = 16 - и т.д. С другой стороны, ln 2 - иррациональное число. Вообще, натуральный логарифм любого рационального числа иррационален. Кроме, разумеется, единицы: ln 1 = 0.
Для натуральных логарифмов справедливы все правила, которые верны для обычных логарифмов.
Корень логарифма из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня:
И в правду, при работе со степенями используется зависимость , следовательно, применив теорему логарифма степени и получаем данную формулу.
Применим ее на практике, рассмотрим пример :
При решении заданий на нахождение логарифма достаточно часто оказывается полезным от логарифмов по одному основанию (например, а ) перейти к логарифмам по другому основанию (например, с ) . В таких ситуациях применяют нижеследующую формулу:
При этом имеется ввиду, что a, b и с конечно же положительные числа, причем а и с не равны один.
Для доказательства этой формулы воспользуемся основным логарифмическим тождеством :
Если положительные числа равны, то, очевидно, равны и их логарифмы по одному и тому же основанию с . Поэтому:
Применив теорему о логарифме степени :
Следовательно, log a b · log c a = log c b откуда и вытекает формула смены основания логарифма.
Вытекают из его определения. И так логарифм числа b по основанию а определяется как показатель степени, в которую надо возвести число a , чтобы получить число b (логарифм существует только у положительных чисел).
Из данной формулировки следует, что вычисление x=log a b , равнозначно решению уравнения a x =b. Например, log 2 8 = 3 потому, что 8 = 2 3 . Формулировка логарифма дает возможность обосновать, что если b=a с , то логарифм числа b по основанию a равен с . Также ясно, что тема логарифмирования тесно взаимосвязана с темой степени числа .
С логарифмами, как и с любыми числами, можно выполнять операции сложения , вычитания и всячески трансформировать. Но ввиду того, что логарифмы - это не совсем ординарные числа, здесь применимы свои особенные правила, которые называются основными свойствами .
Сложение и вычитание логарифмов.
Возьмем два логарифма с одинаковыми основаниями: log a x и log a y . Тогда сними возможно выполнять операции сложения и вычитания:
log a x+ log a y= log a (x·y);
log a x - log a y = log a (x:y).
log a (x 1 . x 2 . x 3 ... x k ) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... + log a x k .
Из теоремы логарифма частного можно получить еще одно свойство логарифма. Общеизвестно, что log a 1= 0, следовательно,
log a 1 / b = log a 1 - log a b = - log a b .
А значит имеет место равенство:
log a 1 / b = - log a b.
Логарифмы двух взаимно обратных чисел по одному и тому же основанию будут различны друг от друга исключительно знаком. Так:
Log 3 9= - log 3 1 / 9 ; log 5 1 / 125 = -log 5 125.
Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.
Сбор и использование персональной информации
Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.
От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.
Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.
Какую персональную информацию мы собираем:
- Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.
Как мы используем вашу персональную информацию:
- Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
- Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
- Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
- Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.
Раскрытие информации третьим лицам
Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.
Исключения:
- В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
- В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.
Защита персональной информации
Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.
Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании
Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.
ПОКАЗАТЕЛЬНАЯ И ЛОГАРИФМИЧЕСКАЯ ФУНКЦИИ VIII
§ 184. Логарифм степени и корня
Теорема 1. Логарифм степени положительного числа равен произведению показателя этой степени на логарифм ее основания.
Другими словами, если а и х положительны и а =/= 1, то для любого действительного числа k
log a x k = k log a x . (1)
Для доказательства этой формулы достаточно показать, что
= a k log a x . (2)
= x k
a k log a x = (a log a x ) k = x k .
Отсюда вытекает справедливость формулы (2), а стало быть, и (1).
Заметим, что если число k является натуральным (k = п ), то формула (1) является частным случаем формулы
log a (x 1 x 2 x 3 ... x n ) = log a x 1 + log a x 2 + log a x 3 + ... log a x n .
доказанной еще в предыдущем параграфе. Действительно, полагая в этой формуле
x 1 = x 2 = ... = x n = x ,
получаем:
log a x n = n log a x .
1) log 3 25 = log 3 5 2 = 2 log 3 5;
2) log 3 2 √ 3 = √3 log 3 2.
При отрицательных значениях х формула (1) теряет смысл. Например, нельзя писать log 2 (-4) 2 = 2 log 2 (- 4), поскольку выражение log 2 (-4) не определено. Заметим, что выражение, стоящее в левой части этой формулы, имеет смысл:
log 2 (-4) 2 = log 2 16 = 4.
Вообще, если число х отрицательно, то выражение log a x 2k = 2k log a x определено, поскольку x 2k > 0. Выражение же 2k log a x в этом случае не имеет смысла. Поэтому писать
Log a x 2k = 2k log a x
нельзя. Однако можно писать
log a x 2k = 2k log a | x | (3)
Эта формула легко получается из (1), если учесть, что
x 2k = | x | 2k
Например,
log 3 (-3) 4 = 4 log 3 | -3 | = 4 log 3 3 = 4.
Теорема 2. Логарифм корня из положительного числа равен логарифму подкоренного выражения, деленному на показатель корня.
Другими словами, если числа а и х положительны, а =/= 1 и п - натуральное число, то
log a n √x = 1 / n log a x
Действительно, n √x = . Поэтому по теореме 1
log a n √x = log a = 1 / n log a x .
1) log 3 √8 = 1 / 2 log 3 8; 2) log 2 5 √27 = 1 / 5 log 2 27.
Упражнения
1408. Как изменится логарифм числа, если, не изменяя основания:
а) возвести число в квадрат;
б) извлечь из числа квадратный корень?
1409. Как изменится разность log 2 a - log 2 b , если числа а и b заменить соответственно на:
а) а 3 и b 3 ; б) 3а и 3b ?
1410. Зная, что log 10 2 ≈ 0,3010, log 10 3 ≈ 0,4771, найти логарифмы по основанию 10 чисел:
8; 9; 3 √2 ; 3 √6 ; 0,5; 1 / 9
1411. Доказать, что логарифмы последовательных членов геометрической прогрессии образуют арифметическую прогрессию.
1412. Отличаются ли друг от друга функции
у = log 3 х 2 и у = 2 log 3 х
Построить графики этих функций.
1413. Найти ошибку в следующих преобразованиях:
log 2 1 / 3 = log 2 1 / 3
2log 2 1 / 3 > log 2 1 / 3 ;
log 2 (1 / 3) 2 > log 2 1 / 3
(1 / 3) 2 > 1 / 3 ;
Загрузка...
