Кинематические парадоксы сто. Парадоксы специальной теории относительности. общей теории относительности

Abstract. This article is devoted to mathematical aspects of the special and general relativity theories, Lorentz transformations and curvature of space-time. Isotropy and flatness of space have been experimentally proved but the theory different determination of space-time properties. Reasons of such disagreement are hidden in mathematical tools and methods used by the theory. But they are totally depend on basic axioms – light velocity constancy and continuity of space. And without necessary explanations it is impossible to accept the point of view that there are no problems with consistency of the SRT and GRT axioms.

Как известно, специальная теория относительности основана на двух, считающихся экспериментально доказанными, фактах – конечности скорости света и ее постоянства в различных инерциальных системах отсчета (независимости скорости света от скорости его источника). Именно эти условия, по общему мнению, не позволяют использовать в механике преобразования Галилея при переходе от одной инерциальной системы отсчета к другой. И, как следствие, за основу математических принципов описания процессов движения принимается релятивистский принцип относительности, выраженный через преобразования Лоренца. Очевидность этих преобразований кажется настолько безупречной, что не должно, казалось бы, и возникать сомнений в правомерности выводов, вытекающих из применения в физической теории принципа лоренц-инвариантности.

Действительно, в соответствии с обоими постулатами специальной теории относительности для двух инерциальных систем отсчета К и К ´, можно записать:

В этих уравнениях компоненты скорости света при условии прямолинейности его распространения:

Отсюда:

Здесь: .

Казалось бы, что стоит только произвести очевидные преобразования и мы получим правила перехода от одной инерционной системы координат к другой инерционной системе в виде преобразований Лоренца.

Однако не все так просто.

Преобразования Лоренца определяют соотношения координат различных систем в зависимости от скорости перемещения начал координат указанных систем относительно может быть легко определена. Но именно в данном допущении теории и кроется ее самая большая проблема.

Пусть начало координат системы К является неподвижным, а начало координат системы К ´, движущейся относительно первой системы, находится на расстоянии r в некоторый момент времени t =0, зафиксированный по часам, находящимся в начале координат системы К . За некоторое время dt начало системы К ´ пройдет путь dl и сместится на расстояние dr . Наблюдатель, размещенный в начале системы К , по достижении периода времени dt увидит, что путь, пройденный началом системы К ´, не будет равен dl , так как информация о положении начала системы координат системы К ´ поступает к указанному наблюдателю с некоторым опозданием, вызванным конечностью скорости света. И наблюдатель, покоящийся в системе К , может выбрать два способа определения скорости перемещения начала координат системы К ´.

Первый из этих способов заключается в том, что в каждой из точек системы К (или некоторых реперных точках) устанавливаются свои часы. Показания всех этих часов синхронизируются таким образом, что наблюдатель, находясь в начале координат системы К , видит одинаковое время на всех часах одновременно, т.е. показания часов в любой конкретной точке сдвинуты по отношению к показаниям часов в начале координат на время, необходимое для достижения фотоном, испущенным в указанной точке, начала координат системы К . В этом случае наблюдатель, используя свои часы, определяет скорость перемещения начала координат системы К ´ как:

Данная скорость не зависит от взаимного положения начал координат систем К и К ´ и является универсальной и абсолютной величиной, что связано с как бы мгновенным переносом информации о перемещении начал этих координат. Единственной проблемой такого метода определения скорости является необходимость иметь в каждой точке системы координат К свои часы.

Второй способ заключается в оценке видимого наблюдателем в системе К перемещения начала координат системы К ´ по своим единственным часам:

Из этого выражения следует, что наблюдаемая скорость зависит от выбора начала координат системы К (взаимного положения начал систем К и К ´ и направления их движения). В данном случае собственно вид функции не является существенным для вывода преобразований инерциальных систем координат, так как наблюдаемая скорость не является универсальной величиной, необходимой для использования в глобальных преобразованиях Лоренца. Скорость же, определяемая по первому способу, безусловно, приемлема для использования в преобразованиях Лоренца, но, к сожалению, не является величиной наблюдаемой (экспериментально определяемой).

Еще одним важным аспектом анализа соответствия координат одной инерциальной системы координатам другой инерциальной системы является следующее.

Инерциальная, в понимании специальной теории относительности, система координат К ´ представляет собой пространство, построенной на множестве точек, неподвижных относительно центра данной системы. Прямолинейная в этой системе траектория движения фотона может быть определена наблюдателем, связанным с началом лабораторной системы координат К , как набор точек, движущихся одновременно с движением инерциальной системы К ´. В этом случае, в полном соответствии с первым постулатом специальной теории относительности, скорость перемещения фотона, испущенного из начала координат системы К ´, вдоль движущейся для наблюдателя из системы К прямой определяется совершенно однозначно как векторная сумма скорости движения системы К ´ и скорости света, испущенной неподвижным источником. Разумеется наблюдаемая (если так можно выразиться в отношении фотона) траектория движения этого фотона не может быть видима как прямая линия, так как особенности определения наблюдаемой скорости движения объектов (точек системы координат К ´) не позволяют через непосредственное наблюдение описать эту траекторию именно как прямую линию.

В соответствии с изложенным, теоретических оснований, подтверждающих необходимость введения второго постулата специальной теории относительности, не существует.

Не дает таких оснований и экспериментальная проверка зависимости (или отсутствия таковой) скорости света от скорости его источника. Так. в работе приведено описание опыта по проверке зависимости скорости света, испускаемого движущимися и неподвижными атомами вещества, подвергаемого облучению, в процессе их перехода от возбужденного к невозбужденному состоянию. Анализируя полученные результаты, авторы пришли к выводу о независимости скорости света от скорости движения его источника.

Однако данный вывод основан на весьма неожиданном и досадном логическом недоразумении.

Действительно, авторы полагают, что интервал между временем прохождения одного и того же расстояния фотоном, испущенным движущимся атомом, и временем для фотона, испущенного неподвижным атомом, определяется в зависимости от скорости движения возбужденного атома по формуле:

Но, если следовать приведенному в данной работе описанию опыта, эта зависимость выражается в виде:

Измеренное в ходе данного эксперимента значение интервала:

Таким образом, экспериментально полностью подтверждена правомерность баллистической зависимости скорости света от его источника (баллистический принцип Ритца), а, следовательно, и несостоятельность формулировки второго постулата специальной теории относительности.

В соответствии с изложенным, мы можем определить первый парадокс специальной теории относительности как противоречие условия абсолютного постоянства скорости света в различных системах координат (второй постулат СТО) необходимому для выполнения первого постулата СТО условию зависимости скорости света при его наблюдении внешним неподвижным, или движущемся с иной скоростью наблюдателем.

Этот парадокс является весьма существенным при описании эффекта Доплера, который возникает при определении неподвижным наблюдателем частоты света, движущимся источником. Данная задача в принципе не решалась при создании СТО, поэтому интересно проследить к каким последствиям приводит применение постулатов СТО к решению данной задачи.

В литературе используются два метода описания эффекта Доплера – геометрический и волновой.

При геометрическом подходе [см., например, 81] описание эффекта Доплера основывается на утверждении, что длина волны, испускаемой движущимся источником, определяется как отрезок, измеряемый между положением точки, соответствующей первому периоду волны, определенному от момента испускания волны, и точки соответствующей положению источника излучения в момент времени, равный периоду волны. Однако такое утверждение приводит к тому, что для сохранения процесса излучения как волнового процесса необходимо, чтобы точки волновой функции, находящиеся дальше точки, соответствующей первому периоду, сдвигались по направлению к источнику со все возрастающей и не имеющей предела скоростью. Такое условие противоречит как первому, так и второму постулатам СТО. Хотелось бы, конечно, верить, что существуют убедительные объяснения данному противоречию.

Волновой подход кажется значительно более убедительным, но так ли это?

Рассмотрим данный подход более внимательно.

В работе при описании эффекта Доплера использован прием замены двух источников излучения и одного приемника на один источник и два приемника, один из которых движется, а второй неподвижен. Вроде бы стандартный математический прием, но он коренным образом меняет методологию описания самого явления, так как, заменяя две волны на одну, мы уже можем вводить понятие совпадающей фазы в точке, в то время как для двух различных волн совпадение фазы в точке является случайностью, и уж точно не обязательным фактом.

Таким образом, известные из литературы объяснения эффекта Доплера являются неубедительными, и ситуация с описанием данного эффекта была бы совсем печальной, если бы с помощью СТО не удалось найти приемлемое объяснение. И оно действительно есть.

Прежде всего необходимо отметить, что эффект Доплера проявляется в двух процессах: изменение частоты волны, отраженной от движущегося объекта, и изменение частоты волны, генерируемой движущимся объектом, по сравнению с частотой волны, генерируемой неподвижным объектом. Многочисленные эксперименты доказывают, что изменение частоты волны происходит в обоих процессах по одному и тому же закону, то есть, нет необходимости различать эти процессы.

Параметры электромагнитной волны, испускаемой неподвижным источником и принимаемой неподвижным же приемником, связаны отношением:

Параметры волны, испускаемой движущимся со скоростью V источником и фиксируемой неподвижным приемником, определены выражением:

Длина волны является некоторым отрезком, особенности описания которого неподвижным наблюдателем, определены правилами специальной теории относительности, а именно сокращением длины движущегося стержня. Поскольку угол наблюдения в общем случае не совпадает с углом, под которым движется излучающий объект по отношению к наблюдателю, то для упрощения примем, что вектор V направлен вдоль оси ОХ системы координат, в центре которой расположен приемник (наблюдатель). В этом случае лоренцево сокращение длины волны распространяется только на проекцию указанного отрезка на ось ОХ :

Поскольку мы должны учесть угол наблюдения, то:

Таким образом:

Наблюдаемая частота волны, генерируемая движущмся источникам:

Самое удивительное, что формулы для определения продольного и поперечного эффектов Доплера совпадают с приводимыми в литературе зависимостями.

Не менее впечатляющая ситуация имеет место и с объяснением эффекта Вавилова-Черенкова.

Как известно, данный эффект был обнаружен в процессе изучения свойств оптически прозрачных сред, находящихся под воздействием жесткого излучения, и проявляется в возникновении слабого свечения. Данное свечение описывается в в виде конуса света, испускаемого Оже-электронами, движущимися со скоростями, превышающими скорость света в среде, и направленного по направлению движения этих электронов. Сущность классического объяснения эффекта Вавилова-Черенкова [см., например, 86] заключается в том, что излучение свободных электронов гасится по всем направлениям, кроме образующих светового конуса (с вершиной на каждом из этих электронов), вдоль которых выполняется условие равенства величины скорости света в среде проекции скорости электрона на образующую. В данном объяснении все кажется логичным, кроме того, каким образом свет может распространяться вперед по направлению движения электрона (это касается не только направления вдоль образующих конуса), так как для этого электрон должен быть оптически прозрачным. Кроме того, непонятно, каким образом жесткое излучение подпитывает электрон, следствием чего и является возникновение Вавилова-Черенкова. Ведь движущийся со сверхсветовой скоростью электрон может взаимодействовать только с теми квантами жесткого излучения, который он нагоняет. И, если третий закон Ньютона и второй постулат СТО верны одновременно, то для того, чтобы эффект Вавилова-Черенкова наблюдался, необходимо, чтобы конус света, излучаемого электроном, был направлен не по ходу движения электрона, а наоборот против этого хода. Но в этом случае классическое объяснение эффекта Вавилова-Черенкова является несостоятельным. Однако, если наблюдаемая внешним наблюдателем скорость света будет равна векторной сумме скорости света (по отношению к неподвижному источнику) и скорости этого источника по отношению к неподвижному наблюдателю, то все становится на свои места. И, если использовать приведенные обозначения, то условие возникновения светового конуса излучения Черенкова должно выглядеть не в виде:

а в виде:

В этом случае конус света по отношению к излучающему электрону будет направлен против хода движения последнего, что в совокупности с налетающими на электрон квантами жесткого излучения обеспечивает выполнение третьего закона Ньютона и существование собственно эффекта Вавилова-Черенкова.

Таким образом, первый парадокс специальной теории относительности о несовместимости первого и второго постулатов СТО разрешим корректировкой второго постулата.

Второй парадокс СТО заключается в том, что уравнения Максвелла инвариантны относительно преобразований Лоренца, хотя применение этих преобразований как истинно пространственно-временных трансформаций при размещении инерциальных систем координат на различных фотонах принципиально невозможно.

Для того, чтобы разобраться с данным парадоксом, необходимо, прежде всего, обратить внимание на то, что же собственно является объектом, описываемым системой уравнений Максвелла. Совершенно очевидно, что этот объект представляет собой обобщенную совокупность двух видов электромагнитного поля – поля, окружающего его источники (заряды и токи), и поля электромагнитного излучения, не содержащего источники последнего. И, если для первого типа полей проблем с применением преобразований Лоренца не возникает, то поля второго типа не могут подчиняться преобразованиям Лоренца. Дело в том, что для полей второго типа неприемлема модель, использующая пробный фотон для установления соотношения расстояния до выбранной точки и времени нахождения фотона в пути до нее. Можно, конечно, сделать вид, что это непринципиально и выражение инвариантного интервала сохраняется и для этого типа полей, но тогда надо определить, каким образом замерять время и скорость движения инерциальных систем координат, что сразу же вернет нас к проблеме, какова модель построения данного интервала. Таким образом, преобразования Лоренца покрывают лишь часть области применения уравнений Максвелла.

Итак, что же делать, если стоит задача построения инерциальных систем координат на фотонах?

Прежде всего, обратим внимание на то обстоятельство, что инвариантный интервал СТО, при некоторых условиях, которые будут рассмотрены далее, является правилом синхронизации хода часов в различных точках одной и той же системы координат. Данное правило может быть легко преобразовано в правило определения (сохранения) квадрата «фазы бегущей волны» (определение дано в кавычках, поскольку физического смысла не имеет, но является схожим по математическому определению с выражением фазы бегущей волны электромагнитного излучения). Однако, так как из определения понятия бегущей волны известно совершенное иное линейное, а не квадратичное, правило установления фазы волны, то совершенно однозначно можно утверждать, что интервал СТО в принципе не может быть использован как инструмент для построения инерциальной системы координат, базирующейся на фотоне, и нам следует опираться на линейный интервал. В этом случае можно отказаться от модели с пробным фотоном и использовать мгновенный мысленный перенос из одной точки в другую, что дает возможность отнести преобразования Галилея к средствам описания физических явлений с использованием систем координат, базирующихся на частицах с нулевой массой покоя. А если мы имеем дело с явлениями типа излучения Черенкова, то системы координат, построенные на частицах, движущихся со сверхсветовыми скоростями, очень схожи с определением пространств де Ситтера.

Таким образом, одних лишь преобразований Лоренца явно недостаточно для всеобъемлющего описания реальных физических процессов в соответствии с принципами, определенными первым постулатом специальной теории относительности.

Но самой большой загадкой СТО является релятивистский характер импульса, определяемый глобальной зависимостью:

Считается, что данная зависимость по одним источникам является следствием СТО и возникает автоматически, если вместо координатного времени используется время собственное. По другим же источникам данная зависимость является экспериментально установленным фактом, выявленным в ходе исследований движения заряженных частиц в магнитном поле.

Рассмотрим данные обоснования релятивистской зависимости импульса.

Прежде всего, отметим, что время собственное при обсуждении положений специальной теории относительности и преобразований Лоренца задается в двух формах – интегральной и дифференциальной, практически повсеместно используемой в современной литературе. В то же время введение в теорию времени собственного не диктуется ни необходимостью соблюдения постулатов специальной теории относительности, ни условиями, требуемыми для вывода преобразований Лоренца, так как для всего этого достаточно фиксации прямолинейности траектории движения фотона. В этом случае время собственное в любой его форме должно иметь нулевое значение. Скорее всего, причиной появления интервала между событиями, а в последующем и времени собственного являлось требование обеспечения математической красоты при описании положений СТО. Но уж, коль скоро, данные термины появились в теории, то им стали придавать иное значение, чтобы распространить на время координатное свойство непрерывности, а не ограничивать его только временем нахождения в пути от начала координат до некоторой заданной точки пробного фотона, испускаемого в центре системы координат. Такой подход, конечно, может быть использован, если в теории имеется потребность в использовании моментов или временных отрезков, меньших или больших времени нахождения пробного фотона в пути до заданной точки. Однако в научной литературе отсутствуют (возможно, автору просто не удалось обнаружить) какие-либо упоминания о существовании такой потребности. Тем не менее, раз уж понятие времени собственного введено в теорию, необходимо обсудить, к каким последствиям приводит это введение.

Рассмотрим, во-первых, интегральную форму задания времени собственного (интервала между событиями). Совершенно очевидно, что использование времени собственного позволяет установить показания часов, размещенных в разных точках пространства, таким образом, чтобы один наблюдатель видел на всех часах (в момент синхронизации) одни и те же показания. Но, так как этого недостаточно, чтобы вместо множества часов наблюдатель мог использовать только одни часы, необходимо, чтобы ход всех часов совпадал с ходом часов наблюдателя, которыми он измеряет время координатное (время нахождения в пути пробного фотона и время перемещения начал различных инерциальных систем координат). А вот для этого условия время собственное как функция от координат пространства и времени координатного вряд ли приемлемо. Это вытекает из того, что область определения этой функции включает как мнимые числа, в случае , так и действительные числа при . Кроме того, в случае линейности пространственно-временных координат ход часов, использующих время собственное, не является линейным и совпадающим с ходом часов, использующих время координатное:

Вряд ли такие часы удобны для определения скорости. Обратим также внимание на то обстоятельство, что дифференциал функции собственного времени, заданной в интегральной форме, не совпадает с определением дифференциала собственного времени, используемого в определении инвариантного интервала СТО в форме:

В связи тем, что мы имеем два противоречащих друг другу определения одной и той же величины, необходимо выяснить, какое из этих определений следует использовать при замене координатного времени временем собственным в релятивистской зависимости импульса. То, что интегральная форма собственного времени для этих целей не подходит, только что установлено выше, а может ли быть использована для указанных целей дифференциальная форма, попробуем сейчас разобраться.

Релятивистская форма 4-вектора энергии-импульса выглядит следующим образом:

Здесь:

Следовательно:

Совершенно очевидно, что релятивистская зависимость импульса получена не в результате полной замены координатного времени временем собственным, так как в этом случае скорость должна быть выражена в виде , и мы имеем дело некоторой вновь вводимой аксиомой, которая позволяет получить желаемый результат. Также совершенно очевидно, что данная аксиома вроде бы вытекает из условия совпадения хода часов, используемых для замера времени координатного, с ходом часов, замеряющих время собственное, при отсутствии пространственных перемещений. Но дело в том, что при отсутствии последних отсутствует и необходимость использования модели с пробным фотоном, то есть замера времени координатного. А в этом случае вряд ли можно использовать инвариантный интервал в дифференциальной форме при анализе преобразований координат инерциальных систем. Таким образом, кроме одного желания должны же быть хоть какие-нибудь теоретические или экспериментальные обоснования, позволяющие согласиться с необходимостью введения новой аксиомы. К огромному сожалению никаких теоретических обоснований этому в научной литературе обнаружить не удается, и остается только уповать на существование экспериментальных фактов. Но и здесь нас ждет разочарование, поскольку, если речь идет об опытах заряженными частицами в магнитном поле, наблюдать релятивистскую зависимость импульса этих частиц невозможно в принципе по той причине, что в данной зависимости используется ненаблюдаемая абсолютная скорость.

Таким образом, как утверждение о возможности теоретического обоснования релятивистского характера импульса, так и утверждение об экспериментальном обнаружении данного феномена являются каким-то досадным недоразумением. А не совсем понятное поведение импульса, вероятнее всего, вызвано использованием при анализе результатов эксперимента именно наблюдаемой скорости, которая, в случае движения наблюдаемого объекта по окружности и получения сведений о времени и координатах наблюдаемого объекта с помощью испускаемого им излучения, будет весьма близка к выражению:

Однако это всего лишь достаточно случайное совпадение, а не устойчивая и универсальная закономерность.

Имеют ли причины возникновения критики СТО отношение к общей теории относительности?

Как оказывается, имеют самое непосредственное значение.

Весьма показательна в этом смысле аналогия с наблюдателем, находящимся в свободно падающем лифте, иллюстрирующая принцип эквивалентности, являющийся одним из базовых для общей теории относительности.

Считается, что наблюдатель в падающем лифте не может экспериментально обнаружить, падает ли его лифт, или находится в состоянии покоя, определяемом отсутствием гравитационного поля вне лифта. Такая аналогия позволяет ввести понятие локально-инерциальных систем координат, что упрощает решение задач, связанных с гравитационным взаимодействием.

В соответствии с предложенной аналогией, мы имеем дело с двумя замкнутыми системами, ограниченными непрозрачными стенками. Свободно падающая система находится под воздействием гравитационного поля, влияние которого на внутреннюю неподвижную относительно лифта систему считается отсутствующим. Если в этих условиях применить принцип сравнения интервалов с помощью пробных фотонов, то можно констатировать следующее. Для неподвижного наблюдателя фотон, испущенный внутри свободно падающей системы координат и имеющий в этой системе прямолинейную траекторию и постоянную скорость, должен воспринимать не только скорость (как линейную, так и угловую), но и ускорение центра координат свободно падающей системы, из которого испускается пробный фотон, в любой точке траектории движения указанного фотона. Только в этом случае свободно падающая система координат может восприниматься размещенным в ней наблюдателем как лабораторная. Но, учитывая, что ускорения и скорости, вызванные гравитационным взаимодействием, зависят от координат (расстояния до центра гравитационных масс), данное условие является принципиально невыполнимым.

Считается, что в данной ситуации принцип эквивалентности свободно падающей в гравитационном поле системы координат и лабораторной системы координат, не подверженный действию гравитационного поля, может быть справедлив, если мы имеем дело с точками бесконечно малой окрестности начала координат (для начал координат обеих систем указанный принцип безоговорочно справедлив). И это действительно могло бы быть так, если бы второй постулат специальной теории относительности был справедлив в его классической формулировке. А так как дело не только в бесконечно малых искажениях, вносимых в координатную сетку свободно падающей системы в связи с наличием гравитационного поля, являющегося по своей природе центральным, но и в том, что при переходе от одной точки к другой пробный фотон, испущенный в начале координат, должен менять в ходе своего движения скорость. Это вызвано тем, что искажения свободно падающей системы координат являются смещениями позиций ее точек от первоначального положения. А раз есть смещения, то они могут быть описаны их скоростью, что влечет за собой изменение относительной скорости пробного фотона. За более подробными объяснениями по данному вопросу можно обратиться к работе , где в § 10, главы 6 изложен принцип воздействия гравитации на физические системы. Этот принцип не только может, но и должен соблюдаться при формировании правил построения локально-инерциальных систем координат. И, если этот принцип дополнить требованиями конечности скорости света и влияния положения наблюдателя, то о локально-инерциальных системах координат можно говорить только как о пространствах, построенных на единичном множестве, т.е. содержащих одну единственную точку. Таким образом, для локально-инерциальных систем координат имеет смысл изменение только временной, а не пространственных координат. И в этом случае вряд ли можно признать удачным определения метрического тензора и аффинной связности, а также уравнения свободного падения (движения) в произвольном поле в произвольной системе координат в виде:

Этот факт, собственно, не является секретом для научного сообщества (см., например, § 3 главы 3 и указанный выше § 10 главы 6, ). Таким образом, так и хочется вслед за Стивеном Вейнбергом воскликнуть «что же такое локально-инерциальная система координат».

Тем не менее, если принять за аксиому возможность существования свободно падающего линейно-нормированного пространства , в котором выполняется принцип баллистического сложения скоростей, определяемых ускорением центра системы координат, описывающих данное пространство, то у нас возникает еще одна проблема. И проблема эта заключается в необходимости принятия в качестве независимой переменной не физического времени t , а собственного времени τ . Причем данная вновь вводимая переменная должна не только входить в состав инвариантного интервала, но и обеспечивать возможность определения в этом пространстве абсолютных скоростей и ускорений по правилу определения линейных производных. Кроме того, нам необходимо обеспечить сохранение условия постоянства скорости света, испускаемого неподвижным в источником. И, если свести все эти условия воедино, то нам остается только найти такие часы, по которым исчисляется время нахождения пробного фотона в пути. Причем это должны быть именно часы в традиционном понимании, а не шляпа фокусника, выдающая любой желаемый результат.

При таком наборе взаимно противоречивых аксиом любая теория была бы обречена на провал, но в том то и преимущество общей теории относительности, что вовсе не эти аксиомы являются определяющими для ОТО. В принципе она основана на двух предположениях: искривлении плоского пространства, отождествляемого с локально-инерциальной системой координат, в присутствии гравитационных масс и свободы выбора лабораторной системы координат в любой точке гравитационного поля. Последнее связано с тем, что невесомость физического объекта в отсутствие гравитационных тел может быть признана эквивалентной невесомости свободно падающего в гравитационном поле объекта, фиксируемой в центре его масс. Оба этих предположения может быть и не слишком удачным образом описаны математически, но поскольку результаты их использования удовлетворительно описывают реальные физические явления, то научное сообщество предпочитает мириться с недостатками математического обоснования указанных предположений, а не оспаривать их по такому считающемуся несущественным поводу. Конечно, можно отказаться от идеи использования свободно падающей системы координат в пользу плоского пространства, лишенного гравитационного поля, и, хотя при этом возникают свои проблемы (например, проблема имбединга), но тогда хоть сохранится аппарат общей теории относительности. Скорее всего именно данное соображение и помогает отгонять критические мысли о несовершенстве идей, послуживших основанием для создания этой теории.

Обратим внимание, что оба вышеуказанных предположения являются независимыми друг от друга, в научных исследованиях одновременно совместно в общем-то не применяются, и поэтому могут быть проанализированы порознь.

В настоящее время наиболее признанным определением сущности искривленного пространства является выражение инвариантного интервала в виде:

Данное выражение трактуется как изменение свойств (мер длины) пространства в присутствии гравитационных масс при сохранении скорости света.

Но если внимательно рассмотреть уравнение инвариантного интервала ОТО, можно найти два способа его объяснения – математический и физический. Первый основан на геометрических методах решения физических задач и полностью реализован в аппарате общей теории относительности и полевых теориях. А вот второй способ, основанный на возможности изменения скорости света в присутствии гравитационных масс, по непонятным причинам полностью исключен из рассмотрения в физических теориях. Однако именно второй способ имеет четкое физические обоснование, поскольку в оптике широко известно явление преломления света, вызванное уменьшением скорости распространения электромагнитных волн в физической среде; а присутствие в выражении интервала члена a 2 (t ) может трактоваться и как наличие в природе масштабного фактора и как наличие у вакуума показателя преломления, величина которого в присутствии гравитационных масс отлична от величины этого параметра в отсутствии указанных масс.

Для того, чтобы сделать правильный выбор, какая из трактовок является удовлетворительной, необходимо разобраться, что является причиной искривления пространства – физическое явление или результат математического описания гравитационного взаимодействия.

Для этого необходимо, прежде всего, понять, о каком именно пространстве идет речь – о математическом (мысленная сущность), или о физическом (реальная сущность) гравитационном поле. То, что в уравнении поля Эйнштейна объединены физические и геометрические величины, еще не свидетельствует о физической природе искривления пространства, так как физические члены этого уравнения относятся не к собственно пространству, а к включенным в него источникам гравитационного поля. И корректным, с позиции сохранения непрерывности системы координат, на которой базируется формулировка геометрических членов уравнения поля, является условие отсутствия размеров у источников поля – стандартная модель элементарных частиц. Отметим, что данное условие является обязательным для любого физического поля при его математическом описании известными на настоящий момент методами геометрического построения координатного пространства.

Если же источник поля имеет размеры, то начало связанной с ним системы координат оказывается внутри отличной от собственно поля физической сущности, то есть иного пространства. В этом случае возникает проблема исключения из рассмотрения внутреннего пространства и его замены на внешнее. В общей теории относительности данная проблема проявляется при возникновении в решениях уравнения поля параметра MG/c 2 , указывающего на существование некоторого размера (радиуса), внутри которого уравнения общей теории относительности вряд ли возможно применить. То есть сама же теория вступает в противоречие с принятыми при ее создании аксиомами о непрерывности геометрического пространства и стандартной модели элементарных частиц. Наиболее наглядно данное обстоятельство представлено в гармонической и изотропной метриках решения Шварцшильда.

Эти метрики показывают, что для того, чтобы хоть как-то обеспечить соответствие математической модели гравитационного поля физической реальности при условии сохранения непрерывности координатной системы, можно через понятие метрического тензора ввести представление об «искривлении» пространства в присутствии гравитационных масс как способ отображения пространства с «дырками» на непрерывное пространство. Но в этом случае искривленное пространство уже не является физической сущностью, а представляет некую адекватную математическую модель гравитационного поля.

Таким образом, эффект искривления возникает уже на этапе математического описания гравитационного взаимодействия и, в принципе, не требует дополнительного физического обоснования, так как является следствием принятых аксиом, а не свойств реальной физической сущности.

В то же время существуют такие физические явления, которые, казалось бы, подтверждают существование реального искривления пространства – аномальное смещение периодов орбит небесных тел в гравитационном поле и смещение позиций небесных тел при их наблюдении вблизи Солнца. И с таким выводом можно было бы безоговорочно согласиться, если бы не существовало иных, чем искривление пространства, объяснений указанных явлений.

Однако такие объяснения существуют и мы можем рассмотреть их на примере аномального смещения перигелия Меркурия и смещения траектории движения фотона вблизи солнечного диска.

Указанные явления можно рассматривать как следствие существования некоторого характерного для любого физического объекта, обладающего массой, размера , внутри которого гравитационное поле действует по иным законам, чем вне его. Этот размер, в принципе, можно считать равным радиусу сферы, плотно заполненной только веществом физического объекта без полевой фазы материи. В этом случае при решении физических задач мы имеем различные положения нуля системы координат. Для стандартной модели ноль базируется в центре масс физического объекта, а для системы координат, базирующейся только на полевой компоненте материи, этот ноль располагается на поверхности сферы с радиусом , который можно определить как радиус вырождения гравитационного поля и вычет в плоском пространстве. То есть мы имеем дело с «плавающим нулем». Такое свойство позволяет ограничить область действия известных законов гравитации с помощью параметра «показателя преломления (сгущения) вакуума»:

Здесь r – расстояние, измеряемое от центра координат стандартной модели, то есть истинно пространственное расстояние.

Для случая вращения Меркурия вокруг Солнца можно заметить, что мгновенные угловые скорости различны в стандартной и полевой системах координат, а их соотношение определяется зависимостью:

Здесь знаком штрих обозначен угол поворота в полевой системе координат.

Используя свойства эллипса легко найти выражение:

Здесь a и а – параметры эллипса.

Подстановка в предыдущее выражение и его интегрирование дают:

За один оборот вокруг Солнца угол между прямыми, проходящими через ноли стандартной и полевой систем координат соответственно и точку перигелия Меркурия, составит:

Это выражение с учетом результата, полученного в ходе астрономических наблюдений за Меркурием, позволяет определить радиус вырождения в виде:

Отклонение луча света вблизи гравитационных масс можно объяснить движением фотона в среде с переменным показателем преломления:

Тогда отклонение луча света вблизи солнечного диска будет равно:

Полученное выражение в полтора раза превышает предсказание общей теории относительности, но очень хорошо согласуется с наибольшим измеренным углом отклонения луча света (2,73´´±0,31´´).

Очевидно практически полное совпадение полученных результатов с опытными данными и близкое к результатам, предсказанным общей теорией относительности.

Однако интерпретация гравитационного взаимодействия с помощью физического вакуума имеет весьма существенный недостаток, заключающийся в том, что эффективный радиус дырки в вакууме определяется в виде . Именно численный коэффициент в данном выражении является проблемным, поскольку непонятны причины, по которым вся масса Солнца не может быть сосредоточена в дырке, не содержащей вакуумной компоненты и имеющей величину . Является ли данная величина характерной только для Солнца, или ее выражение универсально для любой гравитационной массы – это могут показать только экспериментальные исследования.

В то же время модель физического вакуума позволяет объяснить самую большую загадку общей теории относительности – загадку конечности Вселенной и ее непрекращающегося расширения, подтверждением которых считается красное космологическое смещение. Причем этот процесс описывается путем использования понятий единицы собственного объема, изменяющейся в зависимости от изменения размера Вселенной, и единицы координатного объема, остающейся неизменной в сопутствующей системе координат (см., например, §§ 2 и 3 главы 14, ). Введение этих понятий необходимо для обоснования утверждения, что «типичные галактики имеют постоянные координаты» и, следовательно, можно разделить переменные в уравнении:

Данное уравнение описывает движение фронта электромагнитной волны, и, если переменные разделяются, то мы получаем выражение для параметра красного смещения в виде:

То есть в ограниченном расширяющемся пространстве действительно наблюдается красное космологическое смещение.

Однако, не все так просто, поскольку в соответствии со свойствами сопутствующей системы координат (§ 9 главы 6, ) невозможно обеспечить полную независимость геометрических координат от времени. Тем самым отнесение причин возникновения красного смещения только на зависимость масштабного фактора R (t ) от времени, представляется весьма искусственным. Но ничего иного общая теория относительности не предлагает.

Если же мы используем понятие показателя преломления вакуума, как характеристику гравитационного взаимодействия, то можно найти и иное объяснение красного космологического смещения.

Пусть – параметры волны, испускаемой отдаленным источником в момент испускания. Если при прохождении волны до наблюдателя эти параметры меняются, то можно записать выражения:

Последнее выражение является ожидаемым показателем преломления вакуума, определенным через расстояние от источника до наблюдателя и радиус вырождения вакуума, рассчитанный по массе источника излучения:

Но если источник достаточно удален, то можно предположить, что на излучении оказывает влияние не только масса излучающего источника, но и вся масса материи, включенной в сферу радиусом – расстоянием от испущенного фотона до центра этой массы в любой выбранный момент времени, что соответствует принципу Маха. Тогда:

Поскольку нет причин для изменения длины волны и ее частоты в различной степени при изменении скорости света, то:

Следовательно:

Как относиться к последнему выражению?

Во-первых, влияние окружающих масс на движущийся фотон никак не может быть отнесено к следствиям эффекта Доплера. А, во-вторых, это влияние не тождественно гравитационному красному смещению, действие которого зависит от изменения потенциалов гравитационного поля. Это следует из того, что при прохождении через область действия гравитационного поля одной массы в область действия другой массы эффект гравитационного смещения от первой массы исчезает (нивелируется, так как в начале и конце пути через поле первой массы гравитационные потенциалы равны).

Скорее всего указанное выражение определяет эффект, подобный эффекту разлета галактик за счет расширения пространства.

Действительно, если бы мы имели однородное распределение вещества в пространстве, то свет должен был бы проходить одно и то же расстояние с меньшей скоростью, чем в пустом вакууме. Это можно выразить как увеличение длины пути фотона с постоянной скоростью в пустом пространстве при сравнении с заполненным веществом вакууме. Таким образом, «расширение» пространства может быть всего лишь действием принципа Маха для стационарной и бесконечной Вселенной.

С помощью данного метода можно оценить и границы видимости излучающих объектов в пространстве, радиус видимости которых при однородном распределении вещества определяется следующим образом:

Отсюда:

Обратим внимание, что классическое выражение для космологического смещения в пространстве с однородной плотностью распределения вещества определено выражением:

Это дает нам значение предельного радиуса видимости:

Таким образом, реликтовое излучение вполне убедительно может быть объяснено не только в рамках теории большого взрыва, но перекрытием (экранированием) внешнего излучения, вызванным эффектом Ольбертса.

Есть еще один момент, который может подтвердить или опровергнуть модель вакуума с дырками – это гравитационное смещение частоты излучения. Дело в том, что излучение в гравитационном поле подвержено действию взаимно противоположных эффектов – изменению гравитационного потенциала и изменению показателя сгущения вакуума (чем не действие пары сил притяжения-отталкивания!).

Что же касается второго основополагающего предположения, на котором базируется общая теория относительности, а именно принципа независимости выбора лабораторной системы координат, то это предположение скорее дань специальной теории относительности, чем необходимость. Действительно, трудно себе представить ситуацию, в которой две различные свободно падающие системы координат необходимо сравнивать в условиях различных ускорений, вызванных действием одного единственного гравитационного поля. А если речь идет о том, что в одном и том же гравитационном поле одна свободно падающая система на момент ее определения имеет нулевую начальную скорость, в то время как другая система – некоторую (неизвестно каким образом появившуюся) ненулевую скорость, то для введения этого принципа вовсе нет необходимости, так как можно обойтись первым постулатом специальной теории относительности. А все недоразумения, связанные с принципом эквивалентности, могут быть объяснены конечностью скорости света и методами измерения временных отрезков.

Таким образом, вопрос о происхождении Вселенной то ли в результате инфляционных процессов, то ли столкновения бран, может быть дополнен также и предположением об ограничении наблюдаемости в непрерывном и бесконечном пространстве, что не требует привлечения теории большого взрыва. Безусловно, в этом случае необходимо осознавать, что мы меняем сложную проблему о том, что было до большого взрыва, на не менее сложную проблему – каким образом звездам и галактикам удается существовать бесконечно долго. Но на вопрос: «Кто от кого убегает, и убегает ли вообще?», хотя бы из любопытства, найти ответ все же необходимо.

Список литературы

1. Aders E., Lee B.W., Gauge Theories, Phys. Rep., 9C, 1 (1973)
2. Aharonov Y., Casher A., Suskind L., Phys. Rev., D5, 988 (1972)
3. Aitchison I.J.R., Relativistic Quantum Mechanics Macmillan, London, 1972
4. Altarelli G., Partons in Quantum Mechanics? Phys. Rep., 81C, 1 (1982)
5. Arnison G. et al., Intermediate vector boson properties at the CERN super proton synchrotron collider, Geneva, CERN, 1985
6. Bernstein J., Spontaneous Symmetry Breaking, Gauge Theories and All That, Rev. Mod. Phys., 46, 7, (1974)
7. Bilenky S.M., Hosek J., Glashow-Weinberg-Salam Theory of Electro-Weak Interactions and the Neutral Currents, Phys. Rep., 90C, 73 (1982)
8. Bogush A.A., Fedorov F.I., Universal matrix form of first-order relativistic wave equations and generalized Kronecker symbols, Minsk, 1980
9. Bogush A.A., Fedorov F.I., Finite Lorentz transformations in quantum field theory, Rep. Math. Phys., 1977, Vol.11, 1
10. J.R.Bond et al., The Sunyaev-Zel’dovich Effect in CMB-Calibrated Theories Applied to the Cosmic Background Imager Anisotropy Power at , Astrophysical Journal, 626:12-30, 2005, June 10
11. Carruthers P., Introduction to Unitary Symmetries, Wieley-Interscience, N.Y.,1966
12. Catrol Sean, University of Chicago, Astrophysical Journal, 01.09.00
13. Close F.E., An Introduction to Quarks and Partons, Academic press, London, 1979
14. Cook N., Exotic propulsion, Jane’s Defense Weekly, 24.07.02
15. Cook N., Anti-gravity propulsion comes out of closet, Jane’s Defense Weekly, 31.07.02
16. Dokshitzer Y.L., Dyakonov D.I., Trojan S.I., Yard Processes in Quantum Cyromodynamics, Phys. Rev., 58C, 269, (1980)
17. Dolgov A.D., Zeldovich Y.B., Cosmology and Elementary Particles, Rev. Mod. Phys., 53, 1 (1981)
18. Ellis J., Grand Unified Theories in Cosmology, Phys. Trans. R.S., London, A307, 21 (1982)
19. Ellis J., Gaillard M.K., Girardi G., Sorba P., Physics of Intermediate Vector Bosons, Ann. Rev. Nucl. Particle Sci., 32, 443 (1982)
20. Ellis J., Sachrajda C.T., Quarcs and Leptons, NATO Advanced Study Series, Series B, Physics, V.61, Plenum Press, N.Y., 1979
21. Faddeev L.D., Popov V.N., Phys. Lett., 1967, V.25B, p.30
22. Feynman R.P., The Theory of Fundamental Processes, Benjamin, N.Y., 1962
23. Feynman R.P., Quantum Electrodynamics, Benjamin, N.Y., 1962
24. Feynman R.P., The Feynman Lectures on Physics, Addison Wesley, Reading, Mass., 1963
25. Feynman R.P., Photon-Hadron Interactions, Benjamin, N.Y., 1972
26. Feynmann R.P., In: Weak and Electromagnetic Interactions at High Energies, Les Houches Sessions, 29, North-Holland, Amsterdam, 1977
27. Field R.D., In: Quantum Flavordynamics, Quantum Chromodynamics and Unified Theories, NATO Advanced Study Series, Series B, Physics, V.54, Plenum Press, N.Y., 1979
28. Fradkin E.S., Tyutin I.V., Renormalizible theory of massive vector particles, Riv. Nuovo Cimento, 1974, V.4, 1
29. Fritzch H., Minkowski P., Flavordynamics of Quarks and Leptons, Phys. Rep., 73C, 67 (1981)
30. Georgi H., Glashow S.L., Unity of all elementary-particle forces, Phy. Rev. Lett., 1974, V.32, 8
31. Georgi H., Lie Algebras in Particle Physics, Benjamin-Cummings, Reading, Mass., 1982
32. Gilman F.J., Photoproduction and Electropeoduction, Phys. Rep., 4C, 95 (1972)
33. Glashow S.L., Partial symmttries of weak interactions, Nucl/ Phys., 1961, V.22, 3
34. Glashow S.L., Illiopous I., Maiani L., Weak interactions with lepton-hadron symmetry, Phys. Rev., Series D, 1970, V.2, 7
35. Goldstein H., Classical Mechanics, Addison Wesley, Reading, Mass., 1977
36. Goldstone I., Field theories with “superconductor” solutions, Nuovo Cimento, 1961, V.19, 1
37. Green M.B., Surv. High Energy Physics, 3, 127, (1983)
38. Green M.B., Gross D., eds., Unified String Theories, Word Scientific, Singapore, 1986
39. Green M.B., Schwarz J.H., Witten E., Superstring Theory, V.1,2, Cambridge University Press, Cambridge, 1986
40. Greene B., The Elegant Universe. Superstrings, Hidden Dimensions, and the Quest for Ultimate Theory, Vintage Books, A Division of Random House, Inc., N.Y., 1999
41. Halsen Francis, Martin Alan D., Quarks and Leptons. An Introductory Course in Modern Particle Physics, 1983
42. Higgs P.W., Broken symmetries, massless particles and gauge fields, Phys. Lett., Series B, 1964, V.12, 2
43. Kac V., Infinite Dimensional Lie Algebras, Bierkhauser, Boston, 1983
44. Kaku M., Introduction to Superstrings, Springer-Verlag, N.Y., 1988
45. Kim J.E., Langacker P., Levine M., Williams H.H., A Theoretical and Experimental Review of Neutral Currents, Rev. Mod. Phys., 53, 211 (1981)
46. Kobayashi M., Maskawa T., CP-violation in the renormalizible theory of weak interactions, Progr. Theor. Phys., 1973, V.49, 2
47. Langacker P., Grand Unified Theories and Proton Decay, Phys. Rep., 72c, 185 (1981)
48. Lautrup B., In: Weak and Electromagnetic Interactions at High Energies, NATO Advanced Study Series, Series B, Physics, V.13a, Plenum Press, N.Y., 1975
49. Leader E., Predazzi E., Gauge Theories and the New Physics, Cambridge University Press, Cambridge, 1982
50. Llewellyn Smith C.H., In; Phenjmenology of Particles at High Energy, Academic Press, N.Y., 1974
51. Moody R.V.J., Algebra, 10, 211 (1968)
52. Mulvey J.H., The Nature of Matter, Clarendon, Oxford, 1981
53. Nambu Y., Lectures at the Copenhagen Summer Symposium, 1970
54. Okubo S., Tosa Y., Duffin-Kemmer formulation of gauge theories, Phys. Rev., 1979, V.D20, 2
55. Peccei R.D., Status of the standard model, Hamburg, DESY, 1985
56. Politzer H.D., Quantum Chromodynamics, Phys. Rep., 14C, 129, (1974)
57. Polyakov A.M., Phys. Lett., 103B, 207, 211 (1981)
58. Popov V.N., Quantum vortices in the relativistic Goldstone model, Proc. of XII Winter school of theoretical physics in Karpacz, p.397-403
59. Review of particle properties, Particle data group, Geneva, CERN, 1984, Phys. Lett., 1986, V.170B, p.1-350
60. Reya E., Perturbative Quantum Chromodynamics, Phys. Rep., 69C, 195 (1981)
61. Rose M.E., Elementary Theory of Angular Momentum, Wiley, N.Y., 1957
62. Salam A., Elementary particles theory, Stockholm, W.Swartholm Almquist and Weascell, 1968
63. Schwarz J.H., ed., Superstrings, V.1,2, World Scientific, Singapore, 1985
64. Söding P., Wolf G., Experimental Evidence of QCD, Ann. Rev. Nucl. Particle Sci., 31, 231 (1981)
65. Steigman G., Cosmology Confronts Particle Physics, Ann. Rev. Nucl. Particle Sci., 29, 313 (1979)
66. Steinberg J., Neutrino Interactions, Proc. Of the 1976 School of Physics, CERN Rep. 76-20, CERN, Geneva, 1976
67. T’Hooft G., Renormalization Lagrangians for massive Yang-Mills fields, Nucl. Phys. Series B, 1971, V. 35, 1
68. Vilenkin A., Cosmic strings and domain walls, Phys. Rep., 121, 1985
69. Weinberg S., Gravitation and Cosmology, Principles and Applications of the General Theory of Relativity, Mass., 1971
70. Weinberg S., Recent Progress in the Gauge Theories of the Weak, Electromagnetic and Strong Interactions, Rev. Mod. Phys., 46, 255 (1974)
71. Weinberg S., The First Three Minutes, A. Deutsch and Fontana, London, 1977
72. Wiik B.H., Wolf G., Electron-Positron Interactions, Springer Tracts in Mod. Phys., 86, Springer-Verlag, Berlin, 1979
73. Wilczek F., Quantum Chromodynamics, The Modern Theory of the Strong Interaction, Ann. Rev. Nucl. Particle Sci., 32, 177 (1982)
74. Wu T.T., Jang C.N., Phys. Rev., D12, 3845 (1975)
75. Wybourne B.G., Classical Groups for Physicists, Wiley, N.Y., 1974
76. А.И.Ахиезер, Ю.Л.Докшицер, В.А.Хозе, Глюоны, УФН, 1980, т.132
77. В.А.Ацюковский, Критический анализ основ теории относительности, 1996
78. Дж.Бернстейн, Спонтанное нарушение симметрии, сб. Квантовая теория калибровочных полей, 1977
79. Н.Н.Боголюбов, Д.В.Ширков, Квантованные поля, 1980
80. Ф.Ф.Богуш, Введение в калибровочную полевую теорию электрослабых взаимодействий, 2003
81. С.Вейнберг, Гравитация и космология, 2000
82. Дж.Вебер, Дж.Уиллер, Реальность цилиндрических волн Эйнштейна-Лоренца, сб. Новейшие проблемы гравитации, 1961
83. ВюГюВеретенников, В.А.Синицын, Теоретическая механика и дополнения к общим разделам, 1996
84. Е.Вигнер, Теория групп и ее приложения к квантовомеханической теории атомных спектров, 2000
85. В.И.Денисов, А.А.Логунов, Существует ли в общей теории относительности гравитационное излучение?, 1980
86. А.А.Детлаф, М.Б.Яворский, Курс физики, 2000
87. А.Д.Долгов, Я.Б.Зельдович, Космология и элементарные частицы, УФН, 1980, т.130
88. В.И.Елисеев, Введение в методы теории функций пространственного комплексного переменного, 1990
89. В.А.Ильин, В.А.Садовничий, Бл.Х.Сендов, Математический анализ, Учебник в 2 частях, 2004
90. Э.Картан, Геометрия групп Ли и симметричные пространства, 1949
91. Ф.Клоуз, Кварки и партоны: введение в теорию, 1982
92. Н.П.Коноплева, В.Н.Попов. Калибровочные поля, 2000
93. А.Лихнерович, Теория связностей в целом и группы голономии, 1960
94. В.И.Моренко, Общая теория относительности и корпускулярно-волновой дуализм материи, 2004
95. А.З.Петров, Новые методы в общей теории относительности, 1966
96. А.М.Поляков, Калибровочные поля и струны, 1994
97. Ю.Б.Румер, Исследование по 5-оптике, 1956
98. В.А.Рубаков, Классические калибровочные поля, 1999
99. В.А.Садовничий, Теория операторов, 2001
100. Г.М.Страховский, А.В.Успенский, Экспериментальная проверка теории относительности, УФН, т.86, вып.3, 1965, июль
101. А.Д.Суханов, Фундаментальный курс физики. Квантовая физика, 1999
102. Дж.Уиллер, Гравитация, нейтрино и Вселенная, 1962
103. Л.Д.Фаддеев, Гамильтонова форма теории тяготения, Тезисы 5-й Международной конференции по гравитации и теории относительности, 1968
104. Р.Фейнман, Теория фундаментальных процессов, 1978
105. В.А.Фок, Применение идей Лобачевского в физике, 1950
106. Ф.Хелзен, А.Мартин, Кварки и лептоны, 2000
107. А.К.Шевелев, Структура ядер, элементарных частиц, вакуума, 2003
108. Э.Шредингер, Пространственно-временная структура Вселенной, 2000
109. И.М.Яглом, Комплексные числа и их применение в геометрии, 2004

Количество просмотров публикации: -

Отправить свою хорошую работу в базу знаний просто. Используйте форму, расположенную ниже

Студенты, аспиранты, молодые ученые, использующие базу знаний в своей учебе и работе, будут вам очень благодарны.

Размещено на http://www.allbest.ru/

Курсовая работа

Парадоксы специальной теории относительности

Введение

3. Относительность расстояний

4. Преобразования Лоренца

5. Парадоксы СТО

5.2 Парадокс часов

5.3 Парадокс транспорта

5.4 Парадокс колеса

5.5 Парадокс шеста и сарая

5.6 Тонкий человек на решетке

Заключение

Литература

Введение

Парадоксы, т. е. неожиданные следствия или выводы теории, противоречащие сложившимся ранее представлениям, играют особую роль в процессе развития науки. При разрешении того или иного теоретического парадокса приходится обращаться к наиболее принципиальным положениям теории и иногда пересматривать или уточнять связанные с ней представления. Таким образом, теоретические парадоксы в процессе их разрешения представляют некоторую внутреннюю причину развития теории, способствующую ее логическому совершенствованию, а иногда даже выяснению границ применимости и путей дальнейшего обобщения.

Конечно, основным для развития всякой теории являются факты, получаемые из экспериментов и наблюдений. Однако одни только факты не могут сами по себе подтвердить, уточнить или изменить теорию, если они не приводят к подтверждению и уточнению или пересмотру логической структуры теории. Поэтому для развития теории имеет большое значение раскрытие внутренних противоречий и их разрешение. Противоречия же в теории отчетливее всего обнаруживаются, когда они возникают в форме тех или иных парадоксов. Таким образом, анализ теоретических парадоксов не является самоцелью, а представляет лишь средство для выяснения истинного содержания теории, уточнения отдельных ее положений и отыскания путей ее дальнейшего развития. Многие противоречия возникают в теории относительности из-за стандартного способа ее изложения по тому классическому образцу, который был дан еще Эйнштейном. Со времени первой работы Эйнштейна теория относительности пополнилась большим количеством новых представлений. В результате многочисленных приложений выяснилось главное содержание теории. Выяснилось, что некоторые представления, считавшиеся основными в период зарождения теории, оказались в действительности лишь вспомогательными средствами, использованными для построения теории. Оказалось, также, что теория может быть построена на базе различных постулатов. Выяснилось, иначе говоря, что постулаты Эйнштейна не могут отождествляться с самим содержанием теории относительности.

Глубокий анализ содержания теории относительности важен именно сейчас, когда намечается новый этап крутой ломки теоретических представлений в связи с проникновением внутрь самих элементарных частиц и открытием принципиально новых физических процессов в космосе, протекающих в радиогалактиках и сверхзвездах или квазарах.

Мы увидим, что анализ вопроса о предельности скорости сигналов в теории относительности приведет нас к пересмотру содержания, так называемого принципа причинности и к общему выводу о принципиальной возможности существования частиц, имеющих отрицательные и даже мнимые собственные массы. Но если такие частицы действительно существуют в природе, то их открытие приведет к радикальной перестройке всей существующей физической картины мира. А это в свою очередь приведет к новым открытиям, умножающим власть человека над природой.

1. Постулаты специальной теории относительности (СТО)

Классическая механика Ньютона прекрасно описывает движение макротел, движущихся с малыми скоростями (х << c). В нерелятивистской физике принималось как очевидный факт существование единого мирового времени t, одинакового во всех системах отсчета. В основе классической механики лежит механический принцип относительности (или принцип относительности Галилея): законы динамики одинаковы во всех инерциальных системах отсчета. Этот принцип означает, что законы динамики инвариантны (т. е. неизменны) относительно преобразований Галилея, которые позволяют вычислить координаты движущегося тела в одной инерциальной системе (K), если заданы координаты этого тела в другой инерциальной системе (K"). В частном случае, когда система K" движется со скоростью х вдоль положительного направления оси x системы K (рис. 1.1), преобразования Галилея имеют вид:

x=x"+хt, y=y", z=z", t=t".

Предполагается, что в начальный момент оси координат обеих систем совпадают.

Рисунок 1.1 Две инерциальные системы отсчета K и K"

Из преобразований Галилея следует классический закон преобразования скоростей при переходе от одной системы отсчета к другой:

ux=u"x+х, uy=u"y, uz=u"z.

Ускорения тела во всех инерциальных системах оказываются одинаковыми:

Следовательно, уравнение движения классической механики (второй закон Ньютона) не меняет своего вида при переходе от одной инерциальной системы к другой.

К концу XIX века начали накапливаться опытные факты, которые вступали в противоречие с законами классической механики. Большие затруднения возникли при попытках применить механику Ньютона к объяснению распространения света. Предположение о том, что свет распространяется в особой среде - эфире, было опровергнуто многочисленными экспериментами. Американский физик А. Майкельсон сначала самостоятельно в 1881 году, а затем совместно с Э. Морли (тоже американец) в 1887 году пытался обнаружить движение Земли относительно эфира («эфирный ветер») с помощью интерференционного опыта. Упрощенная схема опыта Майкельсона-Морли представлена на рис. 1.2.

Рисунок 1.2 Упрощенная схема интерференционного опыта Майкельсона-Морли. - орбитальная скорость Земли

В этом опыте одно из плеч интерферометра Майкельсона устанавливалось параллельно направлению орбитальной скорости Земли (х=30 км/с). Затем прибор поворачивался на 90°, и второе плечо оказывалось ориентированным по направлению орбитальной скорости. Расчеты показывали, что если бы неподвижный эфир существовал, то при повороте прибора интерференционные полосы должны были сместиться на расстояние, пропорциональное (х/c)2. Опыт Майкельсона-Морли, неоднократно повторенный впоследствии с все более возрастающей точностью, дал отрицательный результат. Анализ результатов опыта Майкельсона-Морли и ряда других экспериментов позволил сделать вывод о том, что представления об эфире как среде, в которой распространяются световые волны, ошибочно. Следовательно, для света не существует избранной (абсолютной) системы отсчета. Движение Земли по орбите не влияет на оптические явления на Земле.

Исключительную роль в развитии представлений о пространстве и времени сыграла теория Максвелла. К началу XX века эта теория стала общепризнанной. Предсказанные теорией Максвелла электромагнитные волны, распространяющиеся с конечной скоростью, уже нашли практическое применение - в 1895 году А. С. Поповым было изобретено радио. Но из теории Максвелла следует, что скорость распространения электромагнитных волн в любой инерциальной системе отсчета имеет одно и то же значение, равное скорости света в вакууме. Это значит, что уравнения, описывающие распространение электромагнитных волн, не инвариантны относительно преобразований Галилея. Если электромагнитная волна (в частности, свет) распространяется в системе отсчета K" (рис. 1.1) в положительном направлении оси x", то в системе K свет должен, согласно галилеевской кинематике распространяться со скоростью c+х, а не c.

Итак, на рубеже XIX и XX веков физика переживала глубокий кризис. Выход был найден Эйнштейном ценой отказа от классических представлений о пространстве и времени. Наиболее важным шагом на этом пути явился пересмотр используемого в классической физике понятия абсолютного времени. Классические представления, кажущиеся наглядными и очевидными, в действительности оказались несостоятельными. Многие понятия и величины, которые в нерелятивистской физике считались абсолютными, т. е. не зависящими от системы отсчета, в эйнштейновской теории относительности переведены в разряд относительных.

Так как все физические явления происходят в пространстве и во времени, новая концепция пространственно-временных закономерностей не могла не затронуть в итоге всю физику.

В основе специальной теории относительности лежат два принципа или постулата, сформулированные Эйнштейном в 1905 г.

Принцип относительности: все законы природы инвариантны по отношению к переходу от одной инерциальной системы отсчета к другой. Это означает, что во всех инерциальных системах физические законы (не только механические) имеют одинаковую форму. Таким образом, принцип относительности классической механики обобщается на все процессы природы, в том числе и на электромагнитные. Этот обобщенный принцип называют принципом относительности Эйнштейна.

Принцип постоянства скорости света: скорость света в вакууме не зависит от скорости движения источника света или наблюдателя и одинакова во всех инерциальных системах отсчета. Скорость света в СТО занимает особое положение. Это предельная скорость передачи взаимодействий и сигналов из одной точки пространства в другую.

Эти принципы следует рассматривать как обобщение всей совокупности опытных фактов. Следствия из теории, созданной на основе этих принципов, подтверждались бесконечными опытными проверками. СТО позволила разрешить все проблемы «доэйнштейновской» физики и объяснить «противоречивые» результаты известных к тому времени экспериментов в области электродинамики и оптики. В последующее время СТО была подкреплена экспериментальными данными, полученными при изучении движения быстрых частиц в ускорителях, атомных процессов, ядерных реакций и т. п.

Постулаты СТО находятся в явном противоречии с классическими представлениями. Рассмотрим такой мысленный эксперимент: в момент времени t=0, когда координатные оси двух инерциальных систем K и K" совпадают, в общем начале координат произошла кратковременная вспышка света. За время t системы сместятся относительно друг друга на расстояние хt, а сферический волновой фронт в каждой системе будет иметь радиус ct (рис.1. 3), так как системы равноправны и в каждой из них скорость света равна c.

Рисунок 1.3 Кажущееся противоречие постулатов СТО

С точки зрения наблюдателя в системе K центр сферы находится в точке O, а с точки зрения наблюдателя в системе K" он будет находиться в точке O". Следовательно, центр сферического фронта одновременно находится в двух разных точках.

Причина возникающего недоразумения лежит не в противоречии между двумя принципами СТО, а в допущении, что положение фронтов сферических волн для обеих систем относится к одному и тому же моменту времени. Это допущение заключено в формулах преобразования Галилея, согласно которым время в обеих системах течет одинаково: t=t". Следовательно, постулаты Эйнштейна находятся в противоречии не друг с другом, а с формулами преобразования Галилея. Поэтому на смену галилеевых преобразований СТО предложила другие формулы преобразования при переходе из одной инерциальной системы в другую - так называемые преобразования Лоренца, которые при скоростях движения, близких к скорости света, позволяют объяснить все релятивистские эффекты, а при малых скоростях (х << c) переходят в формулы преобразования Галилея. Таким образом, новая теория (СТО) не отвергла старую классическую механику Ньютона, а только уточнила пределы ее применимости. Такая взаимосвязь между старой и новой, более общей теорией, включающей старую теорию как предельный случай, носит название принципа соответствия .

2. Относительность промежутков времени

При выполнении любых физических измерений исключительную роль играют пространственно-временные соотношения между событиями. В СТО событие определяется как физическое явление, происходящее в какой-либо точке пространства в некоторый момент времени в избранной системе отсчета. Таким образом, чтобы полностью охарактеризовать событие, требуется не только выяснить его физическое содержание, но и определить его место и время. Для этого необходимо использовать процедуры измерения расстояний и промежутков времени. Эйнштейн показал, что эти процедуры нуждаются в строгом определении.

Для того чтобы в выбранной системе отсчета выполнять измерения промежутка времени между двумя событиями (например, началом и концом какого-либо процесса), происходящими в одной и той же точке пространства, достаточно иметь эталонные часы. Наибольшей точностью в настоящее время обладают часы, основанные на использовании собственных колебаний молекул аммиака (молекулярные часы) или атомов цезия (атомные часы). Измерение промежутка времени опирается на понятие одновременности: длительность какого-либо процесса определяется путем сравнения с промежутком времени, отделяющим показание часов, одновременное с концом процесса, от показания тех же часов, одновременного с началом процесса. Если же оба события происходят в разных точках системы отсчета, то для измерения промежутков времени между ними в этих точках необходимо иметь синхронизованные часы.

Эйнштейновское определение процедуры синхронизации часов основано на независимости скорости света в пустоте от направления распространения. Пусть из точки A в момент времени по часам A отправляется короткий световой импульс (рис. 2.1). Пусть время прихода импульса в B и отражения его назад на часах B есть t". Наконец, пусть отраженный сигнал возвращается в A в момент по часам A. Тогда по определению часы в A и B идут синхронно, если t"=()/2.

Рисунок 2.1 Синхронизация часов в СТО

Существование единого мирового времени, не зависящего от системы отсчета, которое принималось как очевидный факт в классической физике, эквивалентно неявному допущению о возможности синхронизации часов с помощью сигнала, распространяющегося с бесконечно большой скоростью.

Итак, в разных точках выбранной системы отсчета можно расположить синхронизованные часы. Теперь можно дать определение понятия одновременности событий, происходящих в пространственно-разобщенных точках: эти события одновременны, если синхронизованные часы показывают одинаковое время.

Рассмотрим теперь вторую инерциальную систему K", которая движется с некоторой скоростью х в положительном направлении оси x системы K. В разных точках этой новой системы отсчета также можно расположить часы и синхронизировать их между собой, используя описанную выше процедуру. Теперь интервал времени между двумя событиями можно измерять как по часам в системе K, так и по часам в системе K". Будут ли эти интервалы одинаковы? Ответ на этот вопрос должен находиться в согласии с постулатами СТО.

Пусть оба события в системе K" происходят в одной и той же точке и промежуток времени между ними равен по часам системы K". Этот промежуток времени называется собственным временем. Каким будет промежуток времени между этими же событиями, если его измерить по часам системы K?

Для ответа на этот вопрос рассмотрим следующий мысленный эксперимент. На одном конце твердого стержня некоторой длины расположена импульсная лампа B, а на другом конце - отражающее зеркало M. Стержень расположен, неподвижно в системе K" и ориентирован параллельно оси y" (рис. 2.2). Событие 1 - вспышка лампы, событие 2 - возвращение короткого светового импульса к лампе.

Рисунок 2.2.

Относительность промежутков времени. Моменты наступлений событий в системе K" фиксируются по одним и тем же часам C, а в системе K - по двум синхронизованным пространственно-разнесенным часам и. Система K" движется со скоростью х в положительном направлении оси x системы K

В системе K" оба рассматриваемых события происходят в одной и той же точке. Промежуток времени между ними (собственное время) равен. С точки зрения наблюдателя, находящегося в системе K, световой импульс движется между зеркалами зигзагообразно и проходит путь 2L, равный

где ф - промежуток времени между отправлением светового импульса и его возвращением, измеренный по синхронизованным часам и, расположенными в разных точках системы K. Но согласно второму постулату СТО, световой импульс двигался в системе K с той же скоростью c, что и в системе K". Следовательно, ф=2L/c.

Из этих соотношений можно найти связь между ф и:

Таким образом, промежуток времени между двумя событиями зависит от системы отсчета, т. е. является относительным. Собственное время всегда меньше, чем промежуток времени между этими же событиями, измеренный в любой другой системе отсчета. Этот эффект называют релятивистским замедлением времени. Замедление времени является следствием инвариантности скорости света.

Эффект замедления времени является взаимным, в согласии с постулатом о равноправии инерциальных систем K и K": для любого наблюдателя в K или K" медленнее идут часы, связанные с системой, движущейся по отношению к наблюдателю. Этот вывод СТО находит непосредственное опытное подтверждение. Например, при исследовании космических лучей в их составе обнаружены м-мезоны - элементарные частицы с массой, примерно в 200 раз превышающей массу электрона. Эти частицы нестабильны, их среднее собственное время жизни равно. Но в космических лучах м-мезоны движутся со скоростью, близкой к скорости света. Без учета релятивистского эффекта замедления времени они в среднем пролетали бы в атмосфере путь, равный c ?660 м. На самом деле, как показывает опыт, мезоны за время жизни успевают пролетать без распада гораздо большие расстояния. Согласно СТО, среднее время жизни мезонов по часам земного наблюдателя равно

Так как близко к единице. Поэтому средний путь проходимый мезоном системе, оказывается значительно больше 660 м.

С релятивистским эффектом замедления времени связан так называемый «парадокс близнецов». Предполагается, что один из близнецов остается на Земле, а второй отправляется в длительное космическое путешествие с субсветовой скоростью. С точки зрения земного наблюдателя, время в космическом корабле течет медленнее, и когда астронавт возвратится на Землю, он окажется гораздо моложе своего брата-близнеца, оставшегося на Земле. Парадокс заключается в том, что подобное заключение может сделать и второй из близнецов, отправляющийся в космическое путешествие. Для него медленнее течет время на Земле, и он может ожидать, что по возвращению после длительного путешествия на Землю он обнаружит, что его брат-близнец, оставшийся на Земле, гораздо моложе его.

Чтобы разрешить «парадокс близнецов», следует принять во внимание неравноправие систем отсчета, в которых находятся оба брата-близнеца. Первый из них, оставшийся на Земле, все время находится в инерциальной системе отсчета, тогда как система отсчета, связанная с космическим кораблем, принципиально неинерциальная. Космический корабль испытывает ускорения при разгоне во время старта, при изменении направления движения в дальней точке траектории и при торможении перед посадкой на Землю. Поэтому заключение брата-астронавта неверно. СТО предсказывает, что при возвращении на Землю он действительно окажется моложе своего брата, оставшегося на Земле.

Эффекты замедления времени пренебрежимо малы, если скорость космического корабля гораздо меньше скорости света c. Тем не менее, удалось получить прямое подтверждение этого эффекта в экспериментах с макроскопическими часами. Наиболее точные часы - атомные работающие на пучке атомов цезия. Эти часы «тикают» 9192631770 раз в секунду. Американские физики в 1971 году провели сравнение двух таких часов, причем одни из них находились в полете вокруг Земли на обычном реактивном лайнере, а другие оставались на Земле в военно-морской обсерватории США. В соответствии с предсказаниями СТО, путешествующие на лайнерах часы должны были отстать от находящихся на Земле часов на (184±23)·10-9 с. Наблюдаемое отставание составило (203±10)·10-9 с, т. е. в пределах ошибок измерений. Через несколько лет эксперимент был повторен и дал результат, согласующийся со СТО с точностью 1 %.

В настоящее время уже необходимо принимать во внимание релятивистский эффект замедления хода часов при транспортировке атомных часов на большие расстояния.

3. Относительность расстояний

Пусть твердый стержень покоится в системе отсчета K", движущейся со скоростью х относительно системы отсчета K (рис. 3.1). Стержень ориентирован параллельно оси x". Его длина, измеренная с помощью эталонной линейки в системе K", равна. Ее называют собственной длиной. Какой будет длина этого стержня, измеренная наблюдателем в системе K? Для ответа на этот вопрос необходимо дать определение процедуры измерения длины движущегося стержня.

Под длиной стержня в системе K, относительно которой стержень движется, понимают расстояние между координатами концов стержня, зафиксированными одновременно по часам этой системы. Если известна скорость системы K" относительно K, то измерение длины движущегося стержня можно свести к измерению времени: длина движущегося со скоростью х стержня равна произведению, где - интервал времени по часам в системе K между прохождением начала стержня и его конца мимо какой-нибудь неподвижной точки (например, точки A) в системе K (рис. 3.1). Поскольку в системе K оба события (прохождение начала и конца стержня мимо фиксированной точки A) происходят в одной точке, то промежуток времени в системе K является собственным временем. Итак, длина движущегося стержня равна

Рисунок 3.1 Измерение длины движущегося стержня

Найдем теперь связь между и. С точки зрения наблюдателя в системе K", точка A, принадлежащая системе K, движется вдоль неподвижного стержня налево со скоростью х, поэтому можно записать =хф,

где ф есть промежуток времени между моментами прохождения точки A мимо концов стержня, измеренный по синхронизованным часам в K". Используя связь между промежутками времени ф и

Таким образом, длина стержня зависит от системы отсчета, в которой она измеряется, т. е. является относительной величиной. Длина стержня оказывается наибольшей в той системе отсчета, в которой стержень покоится. Движущиеся относительно наблюдателя тела сокращаются в направлении своего движения. Этот релятивистский эффект носит название лоренцево сокращения длины.

Расстояние не является абсолютной величиной, оно зависит от скорости движения тела относительно данной системы отсчета. Сокращение длины не связанно с какими-либо процессами, происходящими в самих телах. Лоренцево сокращение характеризует изменение размера движущегося тела в направлении его движения. Если стержень на рис. 3.1 расположить перпендикулярно оси x, вдоль которой движется система K", то длина стержня оказывается одинаковой для наблюдателей в обеих системах K и K". Это утверждение находится в соответствии с постулатом о равноправии всех инерциальных систем. Для доказательства можно рассмотреть следующий мысленный эксперимент. Расположим в системах K и K" вдоль осей y и y" два жестких стержня. Стержни имеют одинаковые собственные длины, измеренные неподвижными по отношению к каждому из стержней наблюдателями в K и K", и один из концов каждого стержня совпадает с началом координат O или O". В некоторый момент стержни оказываются рядом, и представляется возможность сравнить их непосредственно: конец каждого стержня может сделать метку на другом стержне. Если бы эти метки не совпали с концами стержней, то один из них оказался бы длиннее другого с точки зрения обеих систем отсчета. Это противоречило бы принципу относительности.

Следует обратить внимание, что при малых скоростях движения (х << c) формулы СТО переходят в классические соотношения: и. Таким образом, классические представления, лежащие в основе механики Ньютона и сформировавшиеся на основе многовекового опыта наблюдения над медленными движениями, в специальной теории относительности соответствуют предельному переходу при в=х/c>0. В этом проявляется принцип соответствия.

4. Преобразования Лоренца

Классические преобразования Галилея несовместимы с постулатами СТО и, следовательно, должны быть заменены. Эти новые преобразования должны установить связь между координатами (x, y, z) и моментом времени t события, наблюдаемого в системе отсчета K, и координатами (x", y", z") и моментом времени t" этого же события, наблюдаемого в системе отсчета K".

Кинематические формулы преобразования координат и времени в СТО называются преобразованиями Лоренца. Они были предложены в 1904 году еще до появления СТО как преобразования, относительно которых инвариантны уравнения электродинамики. Для случая, когда система K" движется относительно K со скоростью х вдоль оси x, преобразования Лоренца имеют вид:

Из преобразований Лоренца вытекает целый ряд следствий. В частности, из них следует релятивистский эффект замедления времени и лоренцево сокращение длины. Пусть, например, в некоторой точке x" системы K" происходит процесс длительностью (собственное время), где и - показания часов в системе K" в начале и конце процесса. Длительность ф этого процесса в системе K будет равна

Аналогичным образом, можно показать, что из преобразований Лоренца вытекает релятивистское сокращение длины. Одним из важнейших следствий из преобразований Лоренца является вывод об относительности одновременности. Пусть, например, в двух разных точках системы отсчета K" () одновременно с точки зрения наблюдателя в K" () происходят два события. Согласно преобразованиям Лоренца, наблюдатель в системе K будет иметь

Следовательно, в системе K эти события, оставаясь пространственно разобщенными, оказываются неодновременными. Более того, знак разности определяется знаком выражения, поэтому в одних системах отсчета первое событие может предшествовать второму, в то время как в других системах отсчета, наоборот, второе событие предшествует первому. Этот вывод СТО не относится к событиям, связанным причинно-следственными связями, когда одно из событий является физическим следствием другого. Можно показать, что в СТО не нарушается принцип причинности, и порядок следования причинно-следственных событий одинаков во всех инерциальных системах отсчета.

Относительность одновременности пространственно-разобщенных событий можно проиллюстрировать на следующем примере.

Пусть в системе отсчета K" вдоль оси x" неподвижно расположен длинный жесткий стержень. В центре стержня находится импульсная лампа B, а на его концах установлены двое синхронизованных часов (рис. 4.1(a)), система K" движется вдоль оси x системы K со скоростью х. В некоторый момент времени лампа посылает короткие световые импульсы в направлении концов стержня. В силу равноправия обоих направлений свет в системе K" дойдет до концов стержня одновременно, и часы, закрепленные на концах стержня, покажут одно и то же время t". Относительно системы K концы стержня движутся со скоростью х так, что один конец движется навстречу световому импульсу, а другой конец свету приходится догонять. Так как скорости распространения световых импульсов в обоих направлениях одинаковы и равны c, то, с точки зрения наблюдателя в системе K, свет раньше дойдет до левого конца стержня, чем до правого (рис. 4.1(b)).

Рисунок 4.1.

Относительность одновременности. Световой импульс достигает концов твердого стержня одновременно в системе отсчета K" (a) и не одновременно в системе отсчета K (b)

Преобразования Лоренца выражают относительный характер промежутков времени и расстояний. Однако в СТО наряду с утверждением относительного характера пространства и времени важную роль играет установление инвариантных физических величин, которые не изменяются при переходе от одной системы отсчета к другой. Одной из таких величин является скорость света в вакууме c, которая в СТО приобретает абсолютный характер. Другой важной инвариантной величиной, отражающей абсолютный характер пространственно-временных связей, является интервал между событиями.

Пространственно-временной интервал определяется в СТО следующим соотношением:

где - промежуток времени между событиями в некоторой системе отсчета, а - расстояние между точками, в которых происходят рассматриваемые события, в той же системе отсчета. В частном случае, когда одно из событий происходит в начале координат системы отсчета в момент времени, а второе - в точке с координатами x, y, z в момент времени t, пространственно-временной интервал между этими событиями записывается в виде

С помощью преобразований Лоренца можно доказать, что пространственно-временной интервал между двумя событиями не изменяется при переходе из одной инерциальной системы в другую. Инвариантность интервала означает, что, несмотря на относительность расстояний, и промежутков времени, протекание физических процессов носит объективный характер и не зависит от системы отсчета.

Если одно из событий представляет собой вспышку света в начале координат системы отсчета при t=0, а второе - приход светового фронта в точку с координатами x, y, z в момент времени t (рис. 1.3), то

и, следовательно, интервал для этой пары событий s=0. В другой системе отсчета координаты и время второго события будут другими, но и в этой системе пространственно-временной интервал s" окажется равным нулю, так как

Для любых двух событий, связанных между собой световым сигналом, интервал равен нулю.

Из преобразований Лоренца для координат и времени можно получить релятивистский закон сложения скоростей. Пусть, например, в системе отсчета K" вдоль оси x" движется частица со скоростью

Составляющие скорости частицы u"x и u"z равны нулю. Скорость этой частицы в системе K будет равна

С помощью операции дифференцирования из формул преобразований Лоренца можно найти:

Эти соотношения выражают релятивистский закон сложения скоростей для случая, когда частица движется параллельно относительной скорости систем отсчета K и K".

При х << c релятивистские формулы переходят в формулы классической механики: ux=u"x+х, uy=0, uz=0.

Если в системе K" вдоль оси x" со скоростью u"x=c распространяется световой импульс, то для скорости ux импульса в системе K получим

Таким образом, в системе отсчета K световой импульс также распространяется вдоль оси x со скоростью c, что согласуется с постулатом об инвариантности скорости света .

5. Парадоксы СТО

5.1 Парадокс эйнштейновского поезда

Пусть на поезде, движущемся со скоростью, близкой к единице, едут три человека (А, О и В). А едет в голове поезда, О в середине, а В -- в хвосте (рис. 1).

Рисунок 1. Кто подал сигнал первым - путешественник А или путешественник В?

На земле около железнодорожного пути стоит четвертый человек, О". В тот самый момент, когда О проезжает мимо О", сигналы ламп вспышек от А и В достигают О и О". Кто первым послал сигнал? Пользуясь только тем фактом, что скорость света конечна и не зависит от скорости движения его источника.

Наблюдатели А и В покоятся относительно наблюдателя О. К тому же они находятся на равных расстояниях от О, что последний может не спеша проверить, пользуясь своей линейкой. Следовательно, сигналам от А и от В требуется одно и то же время, чтобы достигнуть О. Эти сигналы принимаются наблюдателем О одновременно. Поэтому наблюдатель О заключает, что наблюдатели Аи В послали свои сигналы в один и тот же момент: .

Наблюдатель О", стоящий рядом с железнодорожными путями, делает совершенно иные выводы. Его рассуждения таковы: «Две вспышки пришли ко мне, когда середина поезда проходила мимо меня. Значит, обе эти вспышки должны быть испущены до того, как середина поезда поравнялась со мной. А до этого момента наблюдатель А был ко мне ближе, чем наблюдатель В. Поэтому свет от В должен был пройти до меня более длинный путь и затратить на это большее время, чем свет от А. Но оба сигнала поступили ко мне одновременно. Следовательно, наблюдатель В должен был послать свой сигнал раньше, чем наблюдатель А» (<0). Итак, наблюдатель О", стоящий рядом с железнодорожными путями, делает заключение, что сначала послал свои сигнал В, а потом уже А, тогда как едущий на поезде наблюдатель О заключает, что оба наблюдателя, А и В, послали сигналы в одно и то же время.

Чему равен промежуток времени между посылкой сигналов наблюдателями А и В? В нештрихованной системе отсчета (поезд) эти сигналы были отправлены одновременно, так что. Расстояние между точками посылки сигналов равно, где L -- длина поезда. Поэтому в штрихованной системе отсчета (движущейся вправо по отношению к нештрихованной системе, то есть поезду, как это бывает обычно при использовании штрихованных и нештрихованных обозначений) промежуток времени между посылкой сигналов А и В можно найти по формулам преобразования Лоренца:

Знак «минус» показывает, что наблюдатель В, находящийся на положительной части оси x / , отправил свой сигнал раньше по «ракетному» времени (более отрицательное время!), чем наблюдатель А .

5.2 Парадокс часов

Пусть часы А находятся в точке I в неподвижной инерциальной системе отсчета, а одинаковые

Рисунок 2

с ними часы В, находившиеся в начальный момент также в точке I, движутся к точке II со скоростью v. Затем, пройдя путь I до точки II, часы В замедляются и, приобретая противоположную скорость -- . возвращаются в точку I (рис. 2).

Если время, требуемое на изменение скорости часов В на обратную, достаточно мало по сравнению с временем прямолинейного и равномерного движения от точки I до точки II, то время, отмеренное часами А, и время, отмеренное часами В, можно вычислить согласно

по формулам

где -- возможная малая поправка на время ускоренного движения часов В. Следовательно, часы B, вернувшись в точку I, реально отстанут от часов A на время

Поскольку расстояние может быть сделано сколь угодно большим, постольку поправка может не приниматься во внимание вообще. Особенность этого кинематического следствия преобразований Лоренца состоит в том, что здесь отставание хода движущихся часов является вполне реальным эффектом.

Реально должны отстать все процессы, связанные с системой, от процессов, идущих в системе. В том числе должны отстать и биологические процессы организмов, находящихся вместе с часами В. Должны замедлиться физиологические процессы в организме человека, путешествующего в системе, в результате чего организм, находившийся в системе, в момент ее возврата в точку I окажется менее постаревшим, чем организм, остававшийся в системе.

Парадоксальным представляется здесь то, что одни из часов реально отстают от других. Ведь это кажется противоречащим самому принципу относительности, так как согласно последнему любую из систем и можно считать неподвижной. Но тогда представляется, что лишь в зависимости от нашего выбора реально отстающими могут стать любые из часов А и В. Но последнее явно абсурдно, так как реально отстают часы В от часов А.

Ошибочность последнего рассуждения состоит в том, что системы и физически не равноправны, так как система все время инерциальная, система же некоторый промежуток времени, когда производится изменение ее скорости на обратную, неинерциальная. Следовательно, вторая из формул (1) для системы неправильна, так как во время ускорения ход удаленных

часов может сильно изменяться за счет инерциального гравитационного поля.

Однако и это совершенно правильное объяснение представляется весьма поразительным. Ведь в течение большого промежутка времени обе системы движутся друг относительно друга прямолинейно и равномерно. Поэтому с точки зрения системы часы А, находящиеся в, отстают (а не уходят вперед) в полном соответствии с формулой (1). И лишь за малый промежуток времени, когда в системе действуют инерциальные силы, часы А быстро уходят вперед на промежуток времени, вдвое больший, чем, ычисляемый по формуле (2). При этом чем большее ускорение испытывает система, тем быстрее бежит время на часах А.

Наглядно суть полученных выводов может быть разъяснена на плоскости Минковского (рис. 3).

Рисунок 3

Отрезок Оb на рис. 3, а изображает покоящиеся часы А, ломаная линия Оаb -- движущиеся часы B. В точке а действуют силы, ускоряющие систему часов В и изменяющие ее скорость на обратную. Точки, расставленные на оси Ob, разделяют единичные промежутки времени в неподвижной системе, связанной с часами А.

Точки на ломаной Оаb отмечают равные единичные промежутки времени, измеряемые часами B, находящимися в системе. Из рисунка видно, что число единичных отрезков, укладывающихся на линии Оb, больше, чем число таких же, но относящихся к системе отрезков, укладывающихся на ломаной Оаb. Следовательно, часы В отстают от часов А.

Согласно рисунку «неподвижные» часы А также отстают от часов В вплоть до момента, изображаемого точкой а. Одновременным с этим моментом является момент, однако до тех пор, пека часы В еще движутся со скоростью. Но через малый промежуток времени, требуемый для замедления часов В и сообщения им скорости -- , на часах В практически останется тот же момент А, но одновременным с ним моментом в системе станет момент, т. е. почти мгновенно время системы как бы перескочит на конечный интервал.

Этот перескок времени не является, однако, реально наблюдаемым эффектом. Действительно, если из системы регулярно, через единичные интервалы посылать в систему световые сигналы, то они совершенно регулярно будут приниматься системой сперва более редко, а затем, после изменения скорости на обратную, более часто. Никакого разрыва в показаниях часов А в системе наблюдаться не будет, как это видно из рис. 3 б,

Таким образом, «парадокс часов» также является лишь непривычным для обычных представлений о пространстве и времени следствием псевдоевклидовой геометрии четырехмерного пространственно-временного многообразия .

5.3 Парадокс транспорта

Транспортер представляет собой бесконечную ленту из гибкого материала, которая движется па направляющим с помощью двух шкивов, укрепленных на станине АВ (рис. 4). Приведем этот транспортер в действие с таким расчетом, чтобы скорость движения ленты приблизилась к световой. Тогда длина ее горизонтальных частей уменьшится в К раз, хотя расстояние между центрами шкивов останется без перемен. Если вначале лента свободно провисала, она натянется. А

Рисунок 4

при недостаточном запасе длины материал ленты подвергнется растяжению. При этом в нем возникнут соответствующие напряжения, которые в принципе могли бы быть обнаружены динамометром и даже привести к обрыву. Наоборот, станина АВ под влиянием натяжения ленты подвергается деформации сжатия, которая также может быть обнаружена динамометром.

Так будут описываться явления в системе «Станина». Если, однако, систему отсчета связать не со станиной, а с лентой, то покоящейся придется считать ленту, а станину -- движущейся с большой скоростью. Тогда сократиться должна уже не лента, а станина, результатом чего будет уже не тугое натяжение, а свободное провисание ленты.

Но этот вывод явно противоречит принципу относительности: рассуждения, касающиеся одного и того же явления, в двух разных системах отсчета приводят к взаимно исключающим результатам. Произведя соответствующий опыт, можно будет опровергнуть один из них и подтвердить другой. А это позволит определить, который из двух объектов (лента или станина) находится в «истинном», а какой только в «кажущемся» движении.

Таким образом, мы сталкиваемся с парадоксом: в данном конкретном случае применение теории относительности приводит к отрицанию одной из ее собственных основ -- принципа относительности Эйнштейна.

Правда, от этого парадокса можно было бы отмахнуться: ведь скользящие по шкивам участки ленты движутся криволинейно, а частная теория относительности требует, чтобы все системы отсчета были инерциальными.

Но это -- не ответ на парадокс, а только попытка уклониться от его действительного анализа (вроде следующего «объяснения»: «Получить вечный двигатель, соединив электромотор с динамо-машиной ремнем и проводами, разумеется, не удастся, потому что ремень обязательно перетрется»).

Можно, конечно, предположить, что криволинейные участки ленты не укорачиваются, а удлиняются как раз настолько, что компенсируется основной эффект. Но достаточно увеличить расстояние между осями шкивов, например, в 10 раз, чтобы компенсация нарушилась: основной эффект укорочения прямолинейных участков возрастает вдесятеро, тогда как предполагаемый маскирующий эффект криволинейных частей останется тем же самым.

Действительное разъяснение парадокса состоит в невозможности связать инерциальную систему отсчета со всей лентой. А если система связана только с одним из ее участков, она не инерциальная: ведь каждый участок ленты (можно представлять его себе окрашенным в особый цвет) периодически меняет направление своего движения на противоположное.

Можно, конечно, воспользоваться инерциальной системой отсчета, которая все время движется относительно станины в том же направлении и с той же скоростью, что и нижняя часть ленты. В этой системе станина движется со скоростью влево, нижняя часть ленты, естественно, неподвижна, а верхняя движется в ту же сторону, что и станина, но с релятивистски удвоенной скоростью

При этом станина укорачивается в К раз, нижняя часть ленты сохраняет натуральную длину, но зато верхняя сокращается значительно сильнее, чем в К раз (приблизительно в раз). В результате общая длина ленты уменьшается настолько, что она, несмотря на укорочение станины, натягивается, а не провисает (количественная сторона дела рассматривается в дополнении Д).

Как и следовало ожидать, рассмотрение в любой действительно инерциальной системе отсчета приводит к одинаковому результату (натяжению ленты). Тем самым парадокс полностью снимается: в данном опыте станина и лента физически неравноправны, так как в отличие от станины лента не может считаться покоящейся ни в одной инерциальной системе (потому что ее части движутся друг относительно друга). По этой именно причине укорачивается лента по сравнению со станиной, а не наоборот.

Рассмотрим еще один довод, который мог бы быть выдвинут в подкрепление парадокса противниками теории относительности. Ровно половина ленты не работающего еще транспортера окрашена в черный цвет. Выберем такой момент времени, когда окрашенная часть ленты находится внизу, а неокрашенная -- вверху (рис. 5).

Рисунок 5

В системе «Станина» обе части ленты, сокращаясь в одинаковое число раз, всегда будут оставаться равными по длине, как это и показано на рис. 5.

В противоположность этому в инерциальной системе «Нижний участок ленты» уменьшение общей длины ленты происходит только за счет ее верхней части, тогда как нижняя часть ленты по сравнению со станиной даже удлиняется в К раз. Поэтому некоторая часть окрашенной «половины» неизбежно перейдет вверх, так что расположение ленты на шкивах будет соответствовать не рис. 5, а рис. 6.

Рисунок 6

Казалось бы, достаточно взглянуть на работающий транспортер, чтобы установить, который из двух противоречащих друг другу выводов соответствует действительности, и тем самым выделить преимущественную систему!

Но это совсем не так. Чтобы установить, который из двух рисунков 5 или 6) подтверждается на опыте, нужно определить, одновременно ли проходят обе границы окрашенной «половины» ленты через крайнее правое и крайнее левое положения. А ведь в каждой системе отсчета понятие одновременности -- свое! Поэтому нет ничего невозможного в том, что в одной системе отсчета будет «наблюдаться» картина, показанная на рис, 5, а в другой -- показанная на рис. 6 .

5.4 Парадокс колеса

Вообразим большое колесо, которое может вращаться относительно системы «Звезды» (рис. 7).

Рисунок 7

Вначале колесо неподвижно, а затем приводится в столь быстрое вращение, что линейная скорость его краев приближается к световой. При этом участки обода АВ, ВС и т. д. сокращаются в К раз, тогда как радиальные «спицы» ОА, ОВ, ОС и т. д. сохраняют свою длину (ведь релятивистское укорочение испытывают только продольные размеры, т. е. размеры в направлении движения).

Выходит, что при неизменном диаметре длина окружности уменьшится в К раз. Если K=10, то окружность станет приблизительно втрое короче своего диаметра -- прямая перестанет служить кратчайшим расстоянием между точками!

Как справится теория относительности с такой геометрической несообразностью?

Чтобы лучше разобраться в деталях физических процессов, сопутствующих быстрому вращению, представим себе сначала, что мы резко охлаждаем покоящееся колесо. Допустим, что его обод изготовлен из материала с большим коэффициентом температурного расширения и сжатия, тогда как длина спиц почти не меняется с температурой. Тогда в результате охлаждения в колесе возникнут механические напряжения: дуговые стержни, стремясь сократиться, будут надавливать на спицы.

В зависимости от механической прочности и упругих свойств после охлаждения колеса либо его обод останется в растянутом состоянии, либо же укоротятся спицы (а вернее сказать, всегда будет в какой-то мере иметь место и тот и другой эффект). Во всяком случае, никакого укорочения окружности при неизменном диаметре не будет. Такое напряженное состояние колеса механически неустойчиво: малейшее отклонение в сторону -- и оно примет форму сферического сегмента (рис. 8).

Рисунок 8

Тогда действительно длина окружности обода будет меньше, чем, где r -- длина изогнутой спицы. Однако изгибанию колеса можно воспрепятствовать, придав ему достаточную жесткость на изгиб или поместив его между двумя прочными пластинами.

Нечто аналогичное происходит и тогда, когда неподвижное вначале колесо приводится в быстрое вращение: его обод стремится сократиться, а спицы -- сохранить неизменную длину. Какая из этих тенденций возьмет верх -- всецело зависит от механических свойств обода и спиц; но никакого укорочения обода без пропорционального ему укорочения спиц не будет (разве что колесо примет форму сферического сегмента). Очевидно, что с принципиальной точки зрения ничто не изменится также и в том случае, если колесо со спицами будет заменено сплошным диском.

Итак, никакого неразрешимого противоречия с геометрией не возникает. Нужно только иметь в виду, что в теории относительности, даже при рассмотрении чисто кинематических вопросов, не всегда допустимо пользоваться абстракцией абсолютно недеформируемого тела (впрочем, представление об абсолютно жестком стержне неприемлемо уже и потому, что с помощью его можно было бы мгновенно передавать сигнал: благодаря неизменности длины оба его конца смещались бы одновременно).

Однако предположим теперь, что колесо изготовлено (например, отлито) внутри быстро вращающейся мастерской. Это значит, что именно в состоянии быстрого вращения относительно системы «Звезды» оно свободно от внутренних напряжений. Если его остановить, обод будет стремиться к удлинению, а спицы -- к сохранению своей длины. При этом возникают напряжения противоположного характера по сравнению с предыдущим случаем: в частности, колесо не будет проявлять никакой тенденции к превращению в сферический сегмент; наоборот, оно будет образовывать по краям складки.

Рассмотрим теперь те же явления в системе «Вращающаяся мастерская». Тогда нам придется считать, что отлитое в этой мастерской колесо, о котором только что шла речь, сперва покоилось, а потом пришло в быстрое вращение. Но при этом в нем возникли внутренние напряжения, ведущие к образованию краевых складок, а не сферического сегмента. Налицо резкое расхождение с результатом такого же эксперимента в системе «Звезды», позволяющее отличить ее от системы «Вращающаяся мастерская».

На этот раз возможность отличить одну систему отсчета от другой не мнимая, а действительная. Однако она ничуть не противоречит частной теории относительности, ведь только одна из этих систем является инерциальной. При этом неинерциальность системы отсчета, вращающейся относительно неподвижных звезд, могла бы быть еще проще обнаружена и по другим, нерелятивистским эффектам (например, центробежному).

В так называемой общей теории относительности Эйнштейном была сделана попытка сформулировать принцип относительности таким образом, чтобы он охватывал не только инерциальные, но также и неинерциальные системы. Однако, как убедительно показал акад. В. А. Фок, это могло быть достигнуто только за счет выхолащивания из самого принципа относительности всего его физического содержания. В действительности же (как показывает уже существование центробежных сил) никакого физически содержательного «общего принципа относительности» не существует, а так называемая «общая теория относительности» в действительности является не расширением частной, а теорией всемирного тяготения.

Это не значит, конечно, что нельзя пользоваться вращающимися и вообще неинерциальными системами отсчета. Необходимо лишь помнить, что с инерциальными они не равноправны, и физические явления в них подчиняются иным законам.

Более детальное исследование показывает, что своеобразие неинерциальных систем распространяется не только на физические, но даже и на геометрические соотношения. Когда экспериментатор, пользующийся вращающейся системой отсчет, измеряет длину окружности, он располагает метр в направлении движения. Поэтому с точки зрения неподвижного наблюдателя он получает преувеличенное значение длины окружности, ибо пользуется сокращенным метром. Когда же вращающийся наблюдатель измеряет диаметр, он располагает свой метр перпендикулярно к направлению движения и потому получает результат, с которым безоговорочно согласится также и неподвижный наблюдатель. Но при правильной длине диаметра и преувеличенной длине окружности отношение их уже не может равняться .

5.5 Парадокс шеста и сарая

Возьмем шест длиной 20 м и будем двигать его в направлении его длины с такой скоростью, чтобы в лабораторной системе отсчета он оказался длиной всего 10 м. Тогда в некоторый момент этот шест можно целиком спрятать в сарае, длина которого также 10 м.. Но рассмотрим то же самое в системе отсчета бегуна с шестом. Для него наполовину сократившимся в длину оказывается сарай. Как же можно спрятать 20-метровый шест в 5-метровом сарае?!

Разрешение этого «парадокса» состоит в том, что в системе отсчета бегуна передний конец шеста покидает сарай прежде, чем задний конец шеста входит в сарай. Поэтому с точки зрения бегуна шест вообще ни в какой момент времени не находится в сарае целиком. Последовательность событий можно подробнее проиллюстрировать двумя диаграммами пространства-времени (рис. 9 и 10),

Рисунок 9. пространственно - временная Рисунок 10 пространственно - временная диаграмма в системе отсчета сарая диаграмма в системе отсчета бегуна

численные значения длин и моментов времени, на которых можно получить из следующих соображений. Так как множитель, описывающий лорецево сокращение, по условию задачи равен 2, то

Поэтому из тождества

следует, что

Отсюда относительная скорость двух систем отсчета равна

Чтобы найти численные значения, приведенные на рисунках 9 и 10, достаточно воспользоваться этими данными, а также тем, что длина шеста в системе отсчета бегуна равна 20 м, а в лабораторной системе 10 м .

Подобные документы

Различная запись преобразования Лоренца. Следствия преобразований. Парадоксы кинематики специальной теории относительности: одногодок (модифицированный парадокс близнецов), антиподов, "n близнецов", расстояний и пешеходов. Итоги теории относительности.

реферат , добавлен 03.04.2012


Инерциальные системы отсчета. Классический принцип относительности и преобразования Галилея. Постулаты специальной теории относительности Эйнштейна. Релятивистский закон изменения длин промежутков времени. Основной закон релятивистской динамики.

реферат , добавлен 27.03.2012


Экспериментальные основы специальной теории относительности, ее основные постулаты. Принцип относительности Эйнштейна. Относительность одновременности как следствие постоянства скорости света. Относительность пространственных и временных интервалов.

презентация , добавлен 23.10.2013


Основные положения специальной теории относительности. Проведение расчета эффекта искривления пространства на этапе математического описания гравитационного взаимодействия. Сравнительное описание математической и физической моделей гравитационного поля.

статья , добавлен 17.03.2011


Общая теория относительности с философской точки зрения. Анализ создания специальной и общей теорий относительности Альбертом Эйнштейном. Эксперимент с лифтом и эксперимент "Поезд Эйнштейна". Основные принципы Общей Теории Относительности (ОТО) Эйнштейна.

реферат , добавлен 27.07.2010


Изучение ключевых научных открытий Альберта Эйнштейна. Закон внешнего фотоэффекта (1921 г.). Формула связи потери массы тела при излучении энергии. Постулаты специальной теории относительности Эйнштейна (1905 г.). Принцип постоянства скорости света.

презентация , добавлен 25.01.2012


Сущность принципа относительности Эйнштейна, его роль в описании и изучении инерциальных систем отсчета. Понятие и трактовка теории относительности, постулаты и выводы из нее, практическое использование. Теория относительности для гравитационного поля.

реферат , добавлен 24.02.2009


Возникновение теории относительности. Классическая, релятивистская, квантовая механика. Относительность одновременности событий, промежутков времени. Закон Ньютона в релятивистской форме. Связь между массой и энергией. Формула Эйнштейна, энергия покоя.

курсовая работа , добавлен 04.01.2016


Изменение формы движущегося объекта и другие явления в рамках преобразования Лоренца. Гносеологические ошибки Специальной теории относительности А. Эйнштейна. Проблема определения границ применимости альтернативной интерпретации преобразования Лоренца.

доклад , добавлен 29.08.2009


Доказательство ошибочности специальной теории относительности (СТО). Выяснение физического смысла преобразования Лоренца, подход к анализу "мысленных экспериментов" Эйнштейна и исправление ошибок в этих экспериментах. "Волновой вариант теории Ритца".

Мы фактически уже начали анализ парадоксов СТО. Структура линейных парадоксов СТО стандартна, и её можно проиллюстрировать следующим примером.

Пусть два джентльмена одинакового роста входят в разные комнаты, разделённые прозрачной перегородкой. Они не знают, что перегородка - это двояковогнутая линза. Первый джентльмен утверждает, что он выше своего коллеги. Второй, сравнивая свой рост с видимым ростом коллеги, утверждает нечто противоположное. Кто из них прав? Кто из них выше на самом деле?

Сейчас ответ для нас очевиден. Неверно сравнивать характеристику сущности (собственный рост) с характеристикой явления (наблюдаемый, кажущийся рост), интерпретируя её как «сущность». Характеристики сущности могут искажаться при отображении в систему отсчёта наблюдателя.

Рис. 2.

Перейдём к парадоксам СТО, используя «золотое правило». Напомним, что условием в СТО является скорость относительного движения. Всё, что зависит от этой скорости, есть характеристика явления.

Замедление времени. Вернёмся к изрядно надоевшему парадоксу близнецов. Неподвижный брат видит, что темп жизни движущегося брата медленнее. В своей системе отсчёта движущийся брат наблюдает аналогичное явление: ему кажется, что темп жизни его брата медленнее и тот «моложе». «Замедление» темпа зависит от величины скорости относительного движения. Оно есть явление. В силу равноправия систем отсчёта явления, которые наблюдает каждый из братьев, одинаковы (симметричны) и мы получаем логическое противоречие СТО (парадокс СТО).

Этот парадокс легко разрешается, если мы разделим эффекты на явление и сущность. При таком раскладе мы должны признать, во-первых, что явления действительно одинаковы (симметричны). Во вторых, действительный темп времени не зависит от выбора наблюдателем (любым из братьев) системы отсчёта, т.е. время едино для всех систем отсчёта. Наблюдаемое «замедление» темпа времени есть обычный эффект Доплера. И никаких проблем! Всё точно так же как в случае с джентльменами.

Сжатие масштаба. Структура парадокса стандартная. Пусть близнецы стоят перпендикулярно вектору относительной скорости. Тогда каждый из близнецов будет видеть брата худым («утончённым»)! Но если они устанут и лягут вдоль вектора этой скорости, то обнаружат, что наблюдаемый движущийся брат будет выглядеть «укороченным». Наблюдаемое «укорочение» обусловлено искажением фронта световой волны при переходе светового луча из одной системы отсчёта в другую. Суть парадокса та же, и нет необходимости «приплетать» для объяснения другую теорию (ОТО). Нужно правильно применять теорию познания к физике.

Вы когда-нибудь видели, как весело смеются малыши из детского сада, посещая «комнату смеха» с кривыми зеркалами? Они ничего не знают о «явлениях и сущностях». Но они прекрасно понимают, что наблюдаемые ими их искажённые фигуры есть «фокус-покус» (понарошку). Они прекрасно знают, что они не «кривеют», а остаются теми же какими были, в отличие от догматичных «академиков-релятивистов».

Ленин и Мах. Теперь мы покажем «пенёк», о который споткнулся кумир А. эйнштейна Эрнст Мах. В.И. Ленин в книге «Материализм и эмпириокритицизм» жестко критикует его философские выводы. Мы же хотим обратить внимание на исходную точку, положившую начало ошибке Маха. Цитируем «Материализм и эмпириокритицизм» Ленина:

«Мы видели, что Маркс в 1845 году, Энгельс в 1888 и 1892 гг. вводят критерий практики в основу теории познания материализма. Вне практики ставить вопрос о том, «соответствует ли человеческому мышлению предметная» (т.е. объективная) «истина», есть схоластика, - говорит Маркс во 2-м тезисе о Фейербахе. Лучшее опровержение кантианского и юмистского агностицизма, как и прочих философских вывертов (Schrullen), есть практика, - повторяет Энгельс. «Успех наших действий доказывает согласие (соответствие, Ьbereinstimmung) наших восприятий с предметной (объективной) природой воспринимаемых вещей», - возражает Энгельс агностикам.

Сравните с этим рассуждение Маха о критерии практики. «В повседневном мышлении и обыденной речи противопоставляют обыкновенно кажущееся, иллюзорное действительности. Держа карандаш перед нами в воздухе, мы видим его в прямом положении; опустив его в наклонном положении в воду, мы видим его согнутым. В последнем случае говорят: «карандаш кажется согнутым, но в действительности он прямой». Но на каком основании мы называем один факт действительностью, а другой низводим до значения иллюзии?.. Когда мы совершаем ту естественную ошибку, что в случаях необыкновенных всё же ждём наступления явлений обычных, то наши ожидания, конечно, бывают обмануты. Но факты в этом не виноваты. Говорить в подобных случаях об иллюзии имеет смысл с точки зрения практической, но ничуть не научной. В такой же мере не имеет никакого смысла с точки зрения научной часто обсуждаемый вопрос, существует ли действительно мир, или он есть лишь наша иллюзия, не более как сон. Но и самый несообразный сон есть факт, не хуже всякого другого» («Анализ ощущений», с. 18...19).

Теперь слово нам. Мы рассматриваем «карандаш», а видимый нами карандаш - это явление. Глядя с торца, мы увидим шестигранник, а глядя сбоку, мы увидим прямоугольник. Если опустим конец карандаша наклонно в стакан с водой, то увидим его «сломанным». Всё это явления, за которыми от Маха спряталась сущность. Мах запутался, не зная критериев отличия явления от сущности и, как результат, впал в идеализм.

Ленин там же пишет:

«Это именно такой вымученный профессорский идеализм, когда критерий практики, отделяющей для всех и каждого иллюзию от действительности, выносится Э. Махом за пределы науки, за пределы теории познания».

Отделить иллюзию от действительности, значит - разделить явление и сущность, т.е. показать: где есть явление, а где мы говорим о сущности.

Итак, мы возвращаемся на позиции классических теорий. В них время для всех инерциальных систем едино, пространство является общим, а инерциальные системы равноправны!

К сожалению, упёртых релятивистов выводы теории познания научной истины не убеждают (философское невежество!). Они тут же вновь вспомнят про преобразование Лоренца, про мысленные эксперименты Эйнштейна, укажут, что в рамках СТО время зависит от выбора системы отсчёта, будут «вещать» о «полном подтверждении» СТО экспериментами и т.д. Не волнуйтесь, господа: «Будет вам и белка, будет и свисток! . Плещеев А.Н. Стихотворение «Старик», 1877»

• 1. Как мы установили, парадоксы СТО (замедление времени, сжатие масштаба и др.) являются обычными логическими противоречиями.
• 2. Логические противоречия в объяснении преобразования Лоренца обусловлены незнакомством с материалистической теорией познания научной истины и, в частности, с неправильной классификацией и соотнесением физических явлений с философскими категориями «явление и сущность». Этим «страдали» А. Эйнштейн и его кумир Э. Мах.
• 3. Незнание и неверное истолкование содержания категорий «явление и сущность», характерно не только для начала 20 века. Редко, кто из современных физиков и философов «грешит» знанием и владением методами и критериями теории познания («святая пустота»).
• 4. Гносеологический анализ показал возможность дать новое объяснение сущности преобразования Лоренца в рамках классических представлений о пространстве и времени. Пространство является общим для всех без исключения инерциальных систем отсчета, а время едино для этих инерциальных систем.
• 5. Ниже мы продолжим анализ и поиск нового объяснения сути преобразования Лоренца.

Парадоксы, даже те, что в теории относительности, - они не в природе, но в наших головах. А в природе есть закономерности, которые мы можем описывать, раскрывать, переводить на язык математики и прочее. Но, тем не менее, я как-то задумался: как бы я мог защитить парадоксы в выводах специальной теории относительности (СТО), по наивности забыв о том, что парадокс начинается с постулата этой теории, объявившей населению земного шара, что скорость света не аддитивна и никогда не складывается ни с кем и ни с чем, и ни при каких обстоятельствах и т.п.

Здесь, ввиду обширности темы парадоксов в исполнении теории относительности - СТО, я вынужден выражаться фрагментарно, опуская такие моменты, как способы нашего моделирования внешнего мира, корректность языка, посредством которого мы можем передавать друг другу сообщения об этих же наших внутренних моделях, которые при внешнем сходстве или одинаковости описывающих их слов могут совершенно не совпадать с тем, что характеризует модели на внутреннем (не вербальном) языке.

Итак, оставим все эти тонкости и перейдем, подобно создателю парадоксов теории относительности, к... мысленному эксперименту. Мы с вами летим в большой ракете над Землей. Летим по инерции. Но это, должен оговориться, никак не инерциальная система, как понимают ее физики-теоретики. То есть, система, не взаимодействующая с внешней средой. Нет таких систем в природе, а мы, конкретно, летим в силовом поле Земли.

Заодно пренебрежем и такими "тонкостями", излишними для парадоксов теории относительности, как сопротивление воздуха и не совсем прямолинейное движение ракеты, летящей над поверхностью не плоской, как известно, Земли.

С нами, в нашем инструментарии следования парадоксам, сверхточные атомные часы, хотя и не известные в период строительства теории относительности, точные весовые гири, точная измерительная линейка, и еще источник импульсного света, по которому и по часам мы еще до полета определили, что время прохождения светового импульса от начала до конца ракеты равно, скажем, одной микросекунде. Взвесили, также, до полета 1 кг сахара, измерили фрагменты ракеты линейкой, и вот теперь мы – в полете.

Первое, что мы обнаруживаем, что 1 кг сахара снова весит 1 кг, согласно весовой гире, размеры фрагментов ракеты по замерам посредством нашей линейки не изменились, и даже время прохождение светового импульса от начала до конца ракеты равно по-прежнему 1 микросекунде, если верить атомным часам. Это отвечает и теории относительности и парадоксов здесь тоже пока не видно.

Хорошо, немного изменим опыт. Нас догоняет предусмотренный теорией относительности внешний световой импульс. Догоняет тоже без всяких парадоксов. В момент, когда часть его проникает внутрь ракеты, мы включаем внутренний источник импульса и одновременно посылаем сигнал внешнему наблюдателю, неподвижному относительно выбранной точки на поверхности Земли. По достижению импульсами конца ракеты мы снова посылаем сигнал внешнему наблюдателю. По внутренним часам мы по-прежнему фиксируем, что время прохождения "внешнего" и "внутреннего" импульсов от начала до конца движущейся ракеты по "местным" часам равно 1 микросекунде.

Мы, в согласии с теорией относительности и даже с парадоксами СТО, не различаем в пределах непрозрачной ракеты движемся мы или нет. Но внутреннее состояние – наше, ракеты, ее фрагментов, линейки, "1 кг" сахара, весовой гири и т.д. существенно изменились. Изменились вследствие взаимодействия движущейся ракеты с силовым полем Земли. Размеры ракеты и линейки, да и нас самих, сократились в направлении движения ракеты. Это следует из формул теории относительности Лоренца и даже были попытки засечь это чудо экспериментально – см., например, статью Барашенкова В.С., "Кто опроверг теорию относительности?". Журнал «Знание - сила», 1993, № 7. http://www.znanie-sila.ru/projects/issue_166.html

Однако то, что мы согласно специальной теории относительности сокращаемся вместе с линейкой, это не так уж парадоксально, если вспомнить, что наша сплошность в определенном смысле иллюзорна. А иллюзорность – это еще не парадокс. Мы, как и все прочее "твердое", – своего рода энергетические полевые структуры, где "сплошные" ядра атомов и электронов занимают менее миллиардной части объем составляющих нас атомов, а ядра и электроны, в свою очередь, тоже не сплошные – и т.д.

Так вот, размеры в движущейся ракете сокращаются (в направлении ее движения), килограммы сахара и гири существенно потяжелели, а ход атомных часов замедлился – все согласно теории относительности и без парадоксов. Нет, я не говорю, что замедлилось время – это все же словоблудие. Здесь сначала бы надо договориться, что понимать под термином "время", чего до сих пор не сделано. Так что я говорю не о времени, а о показаниях часов, на которые также воздействует силовое поле Земли.

А как это будет выглядеть со стороны вышеупомянутого внешнего наблюдателя с точки зрения теории относительности или ее парадоксов? А он, внешний наблюдатель, с нами в "одной тарелке" – в одном и том же силовом поле Земли. Но его неподвижные, относительно выбранной точки поверхности Земли, часы взаимодействуют с силовым полем Земли иначе, чем наши часы в движущейся ракете. По своим часам, после некоторых вычислений, этот наблюдатель определит, что скорость "внешнего" и "внутреннего" импульсов света внутри ракеты для него равны обычной скорости света. Согласно теории относительности и тоже без парадоксов, если не называть временем ход часов.

Остается описать эти эксперименты в виде постулатов, постулаты облечь в математическую форму, из этой формы (форм) построить математическую конструкцию в виде теории относительности, а далее: подставляй в эту конструкцию результаты исходных замеров и сравнивай, насколько расчетный результат есть парадокс или согласуется с соответствующим ему экспериментальным результатом.

Просто? Как бы не так! Дедушка Эйнштейн сказал, что только сама теория, например СТО, позволяет судить о том, что мы в самом деле наблюдаем и какой смысл следует парадоксам или наблюдаемым результатам придавать. Такое, вот, масло масляное получилось в наукообразном оформлении – теория, замкнутая на саму себя. Вообще-то, я даже имею в виду не собственно теорию (ее математическую часть), а ее словесную философическую интерпретацию.

Но оставим эти мелочи. А как быть с внешним наблюдателем, который находится не на поверхности Земли, а в удалении от нее – таком, чтобы силовое поле Земли на него уже не влияло. То есть, совсем достигнуть подобного невозможно даже в парадоксах, но "мелочи" мы снова опускаем. Та вот, этот наблюдатель уже в другой, не нашей, "тарелке" и вообще, он, как и я с ним, теперь уже вне действия теории относительности в части СТО. И он определит, что скорость импульса света, излученного на Земле и направленного в сторону движения Земли, равна скорости движения Земли плюс скорость импульса света относительно движущейся Земли. Попросту, скорости движения Земли и излученного на ней импульса света складываются без всяких парадоксов. Не верите? Ну, я подобный эксперимент с космическим наблюдателем не проводил. А вы, вот, совсем другое дело. Вы помоложе меня, слетайте в космос вместе с теорией относительности и проверьте мои утверждения.

А вообще-то, каждая теория имеет свою ограниченную область применения. Не все вписывается в теорию относительности даже в рамках ее парадоксов. Об этом хорошо написано в статье "Эмпириокритицизм Маха и Авенариуса", Олег Акимов

http://sceptic-ratio.narod.ru/po/mach.htm

С вашего позволения я приведу сокращенные отрывки из этой статьи. Они касаются силы Кориолиса и гироскопов, проявления которых находится вне рамок рассмотрения специальной теории относительности, да и попросту противоречат парадоксу в ее утверждению относительно того, что внутри движущейся системы нельзя определить ничего, что касалось бы движения этой системы. Итак:

"Наблюдая за уходом воды в открытое отверстие слива ванны, вы всегда можете определить в каком из полушарий земли вы находитесь - в северном или южном. Сила Кориолиса раскручивает воду вблизи отверстия в северном полушарии по часовой стрелке, в южном - против часовой стрелке. Эта же сила в северном полушарии заставляет течение реки подмывать правый берег русла, а в южном - левый.

Ось волчка фиксирует только одно направление в пространстве. Чтобы зафиксировать свое абсолютное положение в мировом пространстве нужно взять три волчка, раскрученных по трем взаимно перпендикулярным осям. Соединив их жесткой конструкцией и снабдив необходимыми датчиками, вы получите прибор под названием гироскоп, который используется для навигации подводных, воздушных и космических судов. Механические гироскопы, раскрученные с помощью электрических двигателей, могут обеспечить, скажем, ориентацию гражданских самолетов в условиях тумана.

Слово «гироскоп» отсутствует в лексиконе релятивиста, вы не отыщите его на страницах книг по релятивизму. Оно будет смотреться в их тексте так же неуместно и оскорбительно, как и слово «чёрт» в молитве, обращенной к Богу. Люди далекие от знаний психологии больших групп населения задаются вопросами: «Как же так, всем ученым должна быть известна роль гироскопа, как прибора фиксирующего абсолютное положение в пространстве, почему они не говорят о нем с кафедр своих университетов и академий?»

Ответить на этот вопрос вам будет несложно, если вы представите себя в церкви. Вообразите далее, что кто-то громко выкрикнул: «Бога нет!» Как отреагируют на эту дерзкую выходку церковные служители и прихожане, догадаться несложно. Скорее всего, в следующий раз, когда он захочет войти в Божий храм, они туда его не пустят. Аналогичная ситуация возникает и в храме Науки. Если там кто-нибудь громко заявит: «Эйнштейн ошибся!» - этот смельчак моментально будете предан анафеме.

Почему так произошло, что случилось с научным сообществом, которое пошло за спекулятивными рассуждениями одного более чем странного физика? Как объяснить поведение миллионов людей, которые с восторгом и восхищением смотрели на «прекрасное платье короля», которого в действительности не было? Тут же можно задать встречные вопросы. А как не пойти за человеком, который сказал, что все мертвые воскреснут? Как не пойти за тем, кто обещал излечить больных от всех болезней, а здоровым подарить много золота и серебра, кто, обещал всех накормить и сделать счастливыми, всем дать одежду и кров над головой? Точно так же люди верят в сказку о путешествии во времени, о черных дырах во вселенной, о многомерности мироздания. Перед такими соблазнами никто не устоит; толпа раздавит всякого, кто встанет на пути к их счастливой мечте".

Ну, не только это. Как сказал мудрейший Козьма Прутков: "Люди блюдут свои интересы по обе стороны земного шара". Есть клановые интересы и есть исследования на этот счет. Люди, которые положили жизнь на околонаучные изыскания и приближенные к власть имущим, сделают все, чтобы раздавить того, кто станет на пути парадоксов специальной теории относительности, а заодно и своего благополучия и престижа. Причем, они даже сами себя при это убедят в своей "святой" правоте и в непогрешимой целесообразности их инквизиторских действий ради священных парадоксов СТО.

Однако, я отвлекся – это не тема данной статьи.

А вообще-то, описанные выше заумные или малоумные мысленные эксперименты с ракетой ничего не доказывают и не опровергают. Представим два встречных импульса света в летящей ракете. Здесь возможны две ситуации: скорости этих встречных импульсов одинаковы либо разные. В первом случае выполняется интерпретация ТО сторонниками этой теории, а во втором – надо говорить о необходимости ограничения области применимости ТО. Но есть и еще один аргумент у сторонников ТО: мы не умеем определять скорость света в одном направлении, поэтому и нет смысла говорить об абсолютных скоростях встречных импульсов, как и вообще о парадоксах специальной теории относительности.

Еще можно говорить о скорости света относительно встречного импульса света. Или о двух движущихся с 0,6 С встречных ракетах, взаимная (суммарная) скорость которых должна быть, по здравому смыслу, но не по ТО, больше С (константы скорости света). Можно говорить и о том, что подобные случаи зафиксированы астрономами для разлетающихся фрагментов космического объекта после его взрыва. Или можно говорить о парадоксе Эренфеста, где вращающийся с огромной скоростью диск, как оказалось, не деформируется и не исчезает вопреки существующей интерпретации ТО, где нестыковки с реальностью в специальной теории относительности ласкательно именуют парадоксами.

Но... это дело бесполезное. У сторонников ТО есть свои накатанные за 100 с лишним лет аргументы. Например: мир не такой, каким его воспринимает здравый смысл. Или: надо в какой-то ситуации уточнить определение момента одновременности событий, но только не интерпретацию ТО. Или: для каждого наблюдателя имеет место своя реальность, так что и проблемы несовместимости этих реальностей, как и парадоксов в теории относительности, попросту нет.

Нельзя какими-то аргументами переубедить верующего человека или сторонника эзотерической интерпретации теории относительности и парадоксов ТО.

Основное «назначение» множества парадоксов СТО – это показать внутренние противоречия теории. Если теория делает предсказания о каком-либо явлении, которые противоречат друг другу, то это свидетельствует об ошибочности теории, что требует её пересмотра. Парадоксы СТО выводятся из мысленных экспериментов, то есть, воображаемого эксперимента на основе положений теории. Одним из таких парадоксов по праву считается один из старейших парадоксов – парадокс Эренфеста от 1909 года, в настоящее время часто формулирующийся как «парадокс колеса» и который по утверждениям многих авторов до настоящего времени не имеет удовлетворительного объяснения, решения.

В литературе приводятся несколько различающихся формулировок «парадокса» Эренфеста. Здесь в кавычки слово парадокс поставлено умышленно, поскольку в данной заметке будет показано, что парадокс сформулирован с ошибками, на основе утверждений, приписываемых специальной теории относительности, но которых она не делает. Обобщённо эти различные формулировки парадокса можно свести к трём группам:

• при вращении колеса спицы деформируются;
• невозможно вообще раскрутить колесо из абсолютно твёрдого материала;
• при раскрутке со световой скоростью (обода) колесо стягивается в точку, исчезает.

Все эти формулировки в своей сути достаточно близки друг к другу и при некоторых условиях объединяются. Например, в работе «Теория относительности в элементарном изложении» приводится такая формулировка:

Вначале колесо неподвижно, а затем приводится в столь быстрое вращение, что линейная скорость его краёв приближается к световой. При этом участки обода... сокращаются.., тогда как радиальные «спицы»... сохраняют свою длину (ведь релятивистское укорочение испытывают только продольные размеры, т.е. размеры в направлении движения) .

Рис. 1. Иллюстрация к парадоксу колеса в работе

И затем приводится решение сформулированного парадокса:

Когда неподвижное вначале колесо приводится в быстрое вращение: его обод стремится сократиться, а спицы – сохранить неизменную длину. Какая из этих тенденций возьмёт верх – всецело зависит от механических свойств обода и спиц; но никакого укорочения обода без пропорционального ему укорочения спиц не будет (разве что колесо примет форму сферического сегмента). Очевидно, что с принципиальной точки зрения ничто не изменится также и в том случае, если колесо со спицами будет заменено сплошным диском» .

Суть решения, как видим, состоит в том, что либо спицы обязательно сократятся, либо обод вытянется, в зависимости, от жёсткости материала. Видимо, при однородности материала сокращение будет взаимным: сократятся и спицы и обод, но в меньшей мере.

Парадокс колеса в версии Эренфеста приводится в работе «Неисправленная ошибка Пуанкаре и анализ СТО» :

Рассмотрим плоский, твёрдый диск, вращающийся вокруг своей оси. Пусть линейная скорость его края по порядку величины сравнима со скоростью света. Согласно специальной теории относительности, длина края этого диска должна испытывать лоренцево сокращение...

В радиальном направлении лоренцева сокращения нет, поэтому радиус диска должен сохранять свою длину. При такой деформации диск технически уже не может быть плоским.

Угловая скорость вращения уменьшается с увеличением расстояния от оси вращения. Поэтому соседние слои диска должны скользить друг относительно друга, а сам диск будет испытывать деформации кручения. Диск с течением времени должен разрушиться .

Трактовка, следует заметить, весьма специфическая: разрушение связывается не со сжатием внутренних слоёв или спиц, а с их изгибом, закручиванием. Причину возникновения разности угловых скоростей автор не объясняет, ссылаясь на Эренфеста, и лишь добавляя:

Сами релятивисты не смогли привести никаких объяснений физических причин ни для объяснения гипотезы, ни для объяснения парадокса .

Однако, это единственное описание эффекта скручивания диска, которое мне встретилось в интернете при беглом просмотре.

Википедия описывает парадокс следующим образом, приводя в тексте ссылку на детскую энциклопедию:

Рассмотрим окружность (или полый цилиндр), вращающуюся вокруг своей оси. Так как скорость каждого элемента окружности направлена по касательной, то она (окружность) должна испытывать лоренцево сокращение, то есть её размер для внешнего наблюдателя должен казаться меньше, чем её собственная длина.

Изначально неподвижная жёсткая окружность после её раскручивания должна парадоксальным образом уменьшать свой радиус, чтобы сохранить длину.

По рассуждениям Эренфеста абсолютно твёрдое тело невозможно привести во вращательное движение, поскольку в радиальном направлении лоренцева сжатия быть не должно. Следовательно, диск, бывший в покоящемся состоянии плоским, при раскручивании должен как-то изменить свою форму .

Здесь указывается ещё одно проявление парадокса со ссылкой на Эренфеста: абсолютно твёрдый диск вообще невозможно привести во вращение. Подобная же трактовка приведена и в «Энциклопедии для детей», которая, в свою очередь, ссылается на авторскую работу Эренфеста – короткую заметку «Равномерное вращательное движение тел и теория относительности» от 1909 года:

Заметка содержала парадоксальное утверждение: абсолютно твёрдый цилиндр (или диск) невозможно привести в быстрое вращательное движение вокруг центральной оси, в противном случае возникает противоречие частной теории относительности. В самом деле, пусть такой диск вращается, тогда длина его окружности вследствие лоренцева сокращения уменьшится, а радиус диска останется постоянным... При этом отношение длины окружности диска к диаметру уже не равняется числу n. Этот мысленный эксперимент и составляет содержание парадокса Эренфеста .

Здесь, можно сказать, приводится основная, общепринятая формулировка парадокса Эренфеста, отличающаяся от распространённой формулировки парадокса колеса. В ней уже не говорится о деформации диска или спиц колеса. Просто диск будет оставаться неподвижным.

Проведём опыт с диском. Будем вращать его, постепенно увеличивая скорость. Размеры диска... будут уменьшаться; кроме того, диск искривится. Когда же скорость вращения достигнет скорости света, он попросту исчезнет. И куда только денется?.. .

Диск при вращении должен был деформироваться, как показано на рисунке.

То есть, как и выше делается вывод о деформации спиц, при этом, очевидно, вполне обоснованно предполагается, что твёрдость обода превышает гибкость спиц.

Наконец, чтобы выяснить, какая из формулировок парадокса соответствует авторской, приведём описание парадокса, как он сформулирован в упомянутой работе Эренфеста. Приводимая ниже цитата практически составляет всё содержание той краткой заметки:

Оба определения не абсолютной твёрдости являются – если я правильно понял – эквивалентными. Поэтому достаточно указать на простейший вид движения, для которого данное первоначальное определение уже приводит к противоречию, а именно на равномерное вращение вокруг неподвижной оси.

В самом деле, пусть имеется не абсолютно твёрдый цилиндр C с радиусом R и высотой H. Пусть он постепенно приводится во вращение вокруг своей оси, происходящее затем с постоянной скоростью. Назовём R" радиус, который характеризует этот цилиндр с точки зрения неподвижного наблюдателя. Тогда величина R" должна удовлетворять двум противоречащим друг другу требованиям:

а) длина окружности вращающегося цилиндра по сравнению с состоянием покоя должна сократиться:

2πR′ < 2πR,

поскольку каждый элемент такой окружности движется в направлении касательной с мгновенной скоростью R"ω;

б) мгновенная скорость какого-либо элемента радиуса перпендикулярна его направлению; это значит, что элементы радиуса не подвергаются никакому сокращению по сравнению с состоянием покоя.

Отсюда следует, что

Замечание. Если считать, что деформация каждого элемента радиуса определяется не только мгновенной скоростью центра тяжести, но также и мгновенной угловой скоростью этого элемента, то необходимо, чтобы функция, описывающая деформацию, содержала кроме скорости света с ещё одну универсальную размерную константу, или же в неё должно входить ускорение центра тяжести элемента .

Как видим, по крайней мере, в первоначальной авторской версии парадокс прямо касается не абсолютно твёрдых тел. Ничего не говорится о скручивании слоёв. Ничего об «исчезновении» диска. Возможно, все эти расширения первоначальной идеи сформулированы где-то в последующих работах Эренфеста, но оставим это всё на совести цитированных авторов: проверяемых ссылок на свои утверждения они не привели. Таким образом, мы вполне обоснованно можем рассмотреть:

Миф о парадоксе Эренфеста

Рассмотрим по возможности современные версии парадокса, указанные в начале статьи. Простейшей и, видимо, самой распространённой, является версия «парадокс колеса», с которой, как можно заметить, в наибольшей степени совпадает и противоречие, сформулированное в 1909 году Эренфестом. По сути, парадокс Эренфеста и является тождественно парадоксом колеса.

Однако, сначала мы рассмотрим его предельную версию. Это версия, в которой спицы или внутренняя часть колеса не вращаются вообще. В этом случае мы избавляемся от всяких сомнений о том, сокращаются спицы или не сокращаются. Такое «колесо», как можно догадаться, имеет вид полого тонкостенного цилиндра или тонкого кольца, насаженного на толстую ось. Решение такого «парадокса» очевидно. И вновь, как выше, слово «парадокс» здесь взято в кавычки исключительно по причине того, что это, собственно, и не парадокс, а псевдо-, мнимый парадокс. Специальная теория относительности описывает поведение такого колеса без каких-либо противоречий. Действительно, с точки зрения неподвижной оси «обод» колеса при вращении испытывает лоренцево сокращение, что приводит к уменьшению его диаметра. С этой точки зрения либо колесо лопнет, либо оно сожмёт ось, выдавив на ней выемку, либо при достаточной упругости кольцо растянется. В этом случае внешний наблюдатель не заметит никаких изменений, даже если колесо-кольцо будет раскручено до световой скорости: лишь бы материалу колеса хватило запаса упругости.

Теперь перейдём в систему отсчёта колеса-обода. Очевидно, что невозможно привязать систему покоя ко всему колесу, поскольку векторы скоростей точек направлены в разные стороны. В покое может быть одновременно лишь одна точка, касающаяся неподвижной поверхности. Понятно, что такое «неподвижное» колесо – это просто колесо, катящееся по неподвижной поверхности. О нём мы только-то и можем сказать, что скорость его центра равна половине скорости элемента на верхней части. Но это замечание вдруг неожиданно напоминает нам уже рассмотренный парадокс – парадокс транспортёра . Действительно, в том парадоксе тоже есть три точки: неподвижная; верхняя, движущаяся с некоторой скоростью и средняя, движущаяся с половинной от верхней скоростью. Что может быть общего между колесом и транспортёром?

Однако, присмотримся повнимательнее. Посмотрим на колесо под углом к его оси. Чем этот угол больше, тем сильнее «сплющивается» колесо, принимая вид вытянутого эллипса, что довольно заметно напоминает транспортёр.

Рис. 2. Если смотреть на колесо под большим углом, оно выглядит как эллипс. Окружность из утолщённой линии – это внешняя поверхность оси колеса. Окружность из тонкой линии – вращающийся обод (колесо)

Хотя на получившемся транспортёре лента – обод колеса движется по эллиптической траектории, мы вполне можем рассматривать «проекцию» этого обода на горизонтальную ось. В этом случае мы получаем вполне допустимую аналогию задачи о транспортёрной ленте и её очевидное решение:

В обоих случаях, и с точки зрения балки (станины) и с точки зрения... ленты, результатом будет натяжение ленты, приводящее либо к деформации... станины, либо к деформации... ленты. В зависимости от начальных условий: что будет задано более прочным. Парадокс транспортёра оказался мнимым, кажущимся парадоксом .

Обод колеса, видимый как транспортёрная лента, как и в задаче о транспортёре будет сокращаться, что неизбежно приведёт либо к его разрыву, либо к деформации оси, которая под выбранным углом выглядит как станина транспортёра. Понятно, что ось может быть сегментированной, то есть состоять из спиц, которые, как и сплошная ось, будут деформированы, если обод окажется прочнее.

Таким образом, вариант «парадокса» колеса с тонким ободом и неподвижной осью парадоксом не является, поскольку теория относительности делает о нём непротиворечивые предсказания.

Теперь перейдём к сплошному диску. Более того, будем считать его абсолютно твёрдым, то есть, рассмотрим вариант парадокса Эренфеста о невозможности раскрутки такого диска.

Представим диск как насаженные друг на друга концентрические окружности – ободья достаточно малой толщины и жёстко скреплённые друг с другом. Обозначим радиус каждого такого обода Ri. Длина окружности каждого обода, соответственно, 2πRi. Допустим, нам удалось раскрутить диск. Угловая скорость диска ω едина для каждой точки диска и определяет линейную скорость каждого частного обода диска. Здесь мы решительно отвергаем идею о скручивании как ничем не обоснованную. Тангенциальная скорость каждой точки обода vi = ωRi. Сокращённую длину окружности каждого обода определяем по уравнениям Лоренца:

L i = 2 π R i 1 − ω 2 R 2 i −−−−−−−−√ Li=2πRi1−ω2Ri2

Здесь мы рассматриваем задачу в системе единиц, в которой скорость света с = 1. Рассмотрим два обода: внешний с R0 и один из внутренних – R1, пусть R1 = kR0, где k = 0...1. Из уравнения (1) получаем:

L 1 = 2 π k R 0 1 − ω 2 k 2 R 2 0 −−−−−−−−−√ L 0 = 2 π R 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−√ L1=2πkR01−ω2k2R02L0=2πR01−ω2R02

При «раскручивании» диска два эти обода уменьшили свою длину. Следовательно, радиусы их новых окружностей составят:

l R 1 ω = L 1 2 π = k R 0 1 − ω 2 k 2 R 2 0 −−−−−−−−−√ R 0 ω = L 0 2 π = R 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−√ lR1ω=L12π=kR01−ω2k2R02R0ω=L02π=R01−ω2R02

Отношение радиусов ободьев после раскрутки равно:

R 1 ω R 0 ω = k R 0 1 − ω 2 k 2 R 2 0 −−−−−−−−−√ R 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−√ = k 1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−−−√ R1ωR0ω=kR01−ω2k2R02R01−ω2R02=k1−ω2k2R021−ω2R02

Это выражение показывает, что отношение радиусов смежных слоёв зависит от скорости вращения. Нас должно заинтересовать, какой может быть скорость вращения, чтобы радиусы, отличающиеся в k раз в неподвижном состоянии, после раскрутки сравнялись. Видимо, это будет предельная скорость, после которой слои будут «наползать» друг на друга. Вычислим это отношение для указанного условия:

R 1 ω R 0 ω = k 1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−−−√ = 1 R1ωR0ω=k1−ω2k2R021−ω2R02=1

Для наглядности отбросим левое равенство:

k 1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−−−√ = 1 k1−ω2k2R021−ω2R02=1

Делим всё на k

1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 −−−−−−−−−−√ = 1 k 1−ω2k2R021−ω2R02=1k

Возводим в квадрат обе части равенства

1 − ω 2 k 2 R 2 0 1 − ω 2 R 2 0 = 1 k 2 1−ω2k2R021−ω2R02=1k2

Избавляемся от дробного вида

k 2 − ω 2 k 4 R 2 0 = 1 − ω 2 R 2 0 k2−ω2k4R02=1−ω2R02

Переносим влево члены с радиусами, а вправо члены без радиусов

ω 2 R 2 0 − k 4 ω 2 R 2 0 = 1 − k 2 ω2R02−k4ω2R02=1−k2

Собираем подобные члены

ω 2 R 2 0 (1 − k 4 ) = 1 − k 2 ω2R02(1−k4)=1−k2

Переписываем уравнение как решение для члена с радиусом

ω 2 R 2 0 = 1 − k 2 1 − k 4 ω2R02=1−k21−k4

Видим, что справа в равенстве есть сократимые члены

ω 2 R 2 0 = 1 − k 2 (1 − k 2 ) (1 + k 2 ) ω2R02=1−k2(1−k2)(1+k2)

Сокращаем

ω 2 R 2 0 = 1 1 + k 2 ω2R02=11+k2

Заменяем угловую скорость на линейную

v 2 0 = 1 1 + k 2 v02=11+k2

Извлекаем корень и находим значение скорости

v 0 = 1 1 + k 2 −−−−−√ v0=11+k2

Пересечение может начаться между соседними слоями, для которых почти k = 1. Собственно пересечение возникает при скорости внешнего обода:

v 0 = 1 1 + 1 −−−−√ = 1 2 –√ = 2 –√ 2 ≈ 0 , 7 v0=11+1=12=22≈0,7

Во-первых, это означает, что наше допущение о возможности раскрутить диск оказалось правомерным. Во-вторых, мы обнаруживаем, что два соседних бесконечно тонких слоя-обода будут давить друг на друга только при их скорости, составляющей более 0,7 от скорости света. А это, в свою очередь, означает, что при раскручивании каждый обод уменьшает как длину своей окружности, так и соответствующий ей радиус. Тем самым здесь мы же обнаруживаем заблуждение в отношении сокращения спиц вращающегося колеса. Все авторы при формулировке парадокса явно заявляют, что обод сокращается, а спицы – нет. Мы же обнаружили, что, наоборот, каждый обод, каждый тонкий слой колеса сокращается и уменьшает свой собственный радиус. Следовательно, он не препятствует сокращению слоя, обода, который находится выше него. Точно так же, слой, обод, находящийся ниже него, не препятствует и его собственному сжатию. Поскольку рассмотренные ободья все вместе образуют сплошной диск колеса, то это колесо и в целом не испытывает никаких внутренних деформаций, препятствующих его сжатию. Утверждения всех авторов, включая и автора парадокса – Эренфеста – ошибочны: радиус колеса будет уменьшаться без каких-либо препятствий:

Элементы радиуса не подвергаются никакому сокращению по сравнению с состоянием покоя .

Но у обнаруженного сокращения, сжатия радиусов есть довольно странная особенность: это сокращение возможно только до тангенциальной скорости внешнего обода, не превышающей 0,7 скорости света. Почему именно 0,7? Откуда, из каких физических особенностей колеса возникает это число? И что будет, если колесо раскрутить ещё быстрее?

Впрочем, почему мы утверждаем, что спицы будут сокращаться, ведь в нашей модели спиц нет, колесо сплошное. А в колесе со спицами нет никаких «тонких ободьев», между соседними спицами пустое пространство.

Как верно указано в работе , нет никакой разницы между сплошным диском и диском со спицами. Лоренцеву сокращению подвержены все элементы, удалённые от центра на одинаковое расстояние. То есть, в этом случае «тонкий слой» представляет собой последовательность из «долек» спиц и пустого пространства между ними. Здесь может возникнуть недоумённое возражение: как же так, почему это каждая «долька» спицы сжимается вдоль окружности? Ведь у них рядом пустое пространство! Да, пустое. Но лоренцеву сокращению подвержены все без исключения элементы, это не реальное физическое сжатие, это сжатие, видимое внешнему наблюдателю. Как правило, при описании лоренцева сокращения всегда подчёркивается: объект с точки зрения внешнего наблюдателя уменьшил свои размеры, хотя с точки зрения самого объекта с ним ничего не произошло.

Для пояснения этого тангенциального сжатия, утончения спиц представим себе движущуюся платформу, на которой с интервалом уложены, например, кирпичи. Внешнему наблюдателю будет казаться, что платформа сократилась. А что будет с интервалами между кирпичами? Кирпичи, разумеется, сократятся, но в случае неизменности интервала между ними, они просто вытолкнут друг друга с платформы. Однако, на самом деле кирпичи и интервалы между ними сокращаются как один единый объект. Любой наблюдатель, движущийся мимо платформы, будет видеть её уменьшенную длину, в зависимости от относительной скорости, и уменьшенную длину объекта «кирпичи с интервалами». С самой же платформой, кирпичами и интервалами между ними, как известно, ничего не произойдёт.

Так и в случае с колесом со спицами. Каждый отдельный радиальный слой колеса – обод будет представлять собой «слоёный пирог», состоящий из последовательных кусочков спиц и пространства между ними. Сокращаясь по длине, такой «слоёный» обод будет одновременно уменьшать свой радиус кривизны. В этом смысле полезно представить себе, что колесо сначала раскручено, затем замедлено до остановки. Что с ним будет? Оно вернётся в исходное состояние. Уменьшение его размеров никак не связано с его физической деформацией, это размеры, видимые внешнему, неподвижному наблюдателю. С самим колесом при этом ничего не происходит.

Отсюда, кстати, непосредственно и следует, что колесо может быть абсолютно твёрдым. Никаких усилий деформации к нему не прикладывается, изменение его диаметра не требует непосредственного физического сжатия материала колеса. Можно колесо раскручивать, затем замедлять сколько угодно раз: для наблюдателя колесо будет уменьшать свои размеры и вновь их восстанавливать. Но при одном условии: тангенциальная скорость внешнего обода колеса не должна превышать таинственной величины – 0,7 скорости света.

Очевидно, что при достижении этой скорости внешним ободом колеса, скорости всех нижележащих будут заведомо меньше. Следовательно, «волна» перекрытия начнётся с внешней части и будет постепенно перемещаться внутрь колеса, к его оси. При этом если внешний обод будет раскручен до скорости света, перекрытие слоёв будет только до слоя, имеющего 0,7 исходного радиуса колеса. Все более близкие к оси слои перекрывать друг друга не будут. Понятно, что это гипотетическая модель, поскольку пока неясно, что будет происходить со слоями, находящимися от оси дальше, чем 0,7 исходного радиуса. Напомним точное значение этой величины: √2/2.

На диаграмме показан процесс сокращения радиусов слоёв и точка начала их пересечения:

Рис. 3. Степени сжатия радиусов ободьев в зависимости от их удалённости от центра и тангенциальной скорости внешнего обода

При увеличении тангенциальной скорости внешнего края диска, его слои – ободья уменьшают собственные радиусы в разной степени. Сильнее всего уменьшается радиус внешнего края – вплоть до нуля. Видим, что обод, радиус которого равен десятой части от радиуса внешнего края диска, практически не изменяет своего радиуса. Это значит, что при сильной раскрутке внешний обод сократится до радиуса меньшего, чем внутренний, но как это будет выглядеть в реальности, пока неясно. Пока только очевидно, что деформация наступает лишь при скорости внешнего обода, превышающей √2/2 скорости света (ок. 0,71 c). До этой скорости все ободья сжимаются, не пересекая друг друга, без деформации плоскости диска, внешний радиус которого при этом уменьшится до 0,7 от исходного значения. Чтобы наглядно показать эту точку, на диаграмме приведены два смежных внешних слоя обода, имеющие почти одинаковые радиусы. Это первые «кандидаты» на взаимное пересечение при раскручивании.

Если на диск нанести равномерно концентрические окружности, через равные интервалы, то в процессе его раскручивания для внешнего наблюдателя эти окружности будут располагаться с интервалами, равномерно уменьшающимися от центра (практически исходная величина интервала) к периферии (уменьшающийся вплоть до нуля).

Для того чтобы выяснить, что произойдёт с колесом после превышения внешним ободом скорости 0,7 от скорости света, изменим форму колеса так, чтобы слои не мешали друг другу. Сдвинем слои колеса вдоль оси, превратив колесо в тонкостенный конус, воронку. Теперь при сжатии каждого слоя под ним нет других слоёв, и ничто не мешает ему сжиматься сколько угодно. Начнём раскручивать конус из состояния покоя до скорости 0,7 от скорости света и затем до скорости света, после чего уменьшим скорость в обратной последовательности. Изобразим этот процесс в виде анимации:

Рис. 4. Лоренцева деформация конуса при раскручивании. Слева вид вдоль оси конуса – воронки, справа – вид сбоку, перпендикулярно к оси. Красной тонкой линией на конусе показан его контур

На рисунке конус (воронка) показан в двух видах: вдоль оси, как всегда изображается парадокс колеса, и перпендикулярно к оси, вид сбоку, на котором виден «профиль» конуса. На виде сбоку мы отчётливо видим поведение каждого слоя-обода конуса, бывшего колеса. Каждый из этих слоёв изображён цветной линией. Эти линии повторяют соответствующие окружности, ободья, для которых построен график на предыдущем рисунке. Это позволяет увидеть каждый обод независимо от других и то, как внешний обод уменьшает свой радиус сильнее, чем внутренние.

Следует особо отметить следующие очевидные обстоятельства. Согласно теории относительности деформации диска или показанного конуса как таковой нет. Все изменения в его форме – это видимость для внешнего наблюдателя, с самим диском и конусом при этом ничего не происходит. Следовательно, он вполне может быть из абсолютно твёрдого материала. Изделия из такого материала не сжимаются, не растягиваются, не изгибаются и не скручиваются – они не подвержены никакой геометрической деформации. Поэтому видимость деформации вполне допускает и раскручивание этого диска до световой скорости. Внешний наблюдатель будет видеть, как показано на анимации, вполне логичную, хотя и довольно странную картину. Внешний обод конуса уменьшается до скорости 0,7 c, после чего продолжает сжиматься дальше. При этом внутренний обод, который имел меньший радиус, оказывается с внешней стороны. Однако, это вполне очевидное явление. По раскрашенным ободьям на анимации видно, как внешние ободья приближаются к центру диска, превращая конус в своеобразный замкнутый сосуд, амфору. Но нужно понимать, что при этом собственно конус остаётся таким, как и был изначально. Если уменьшить скорость его вращения, то все слои вернутся на свои места и амфора для неподвижного наблюдателя вновь превратится в конус. Это кажущееся перемещение слоёв, ободьев вследствие сжатия к центру диска с точки зрения внешнего наблюдателя никак не связано с реальной геометрической деформацией самого диска. Потому-то и нет никаких физических препятствий для того, чтобы конус был изготовлен из абсолютно твёрдого материала.

Но это относится к конусу. А как поведёт себя плоское колесо, в котором все слои находятся всё-таки друг над другом? В этом случае неподвижный наблюдатель увидит весьма странную картину. После того как внешний обод диска уменьшится на скорости 0,7 c, он сделает попытку дальнейшего сжатия. При этом внутренний обод, который имел меньший радиус, будет сопротивляться этому. Здесь мы напомним очевидное условие – при любой скорости диск должен оставаться плоским.

При всей странности картины можно достаточно легко догадаться о том, что произойдёт дальше. Нужно просто вспомнить рассмотренную выше картину с тонкостенным колесом, насаженным на неподвижную ось. Отличие лишь в том, что в рассмотренном случае неподвижная ось не испытывает лоренцева сокращения. Здесь же слои, он нуля до 0,7 от радиуса колеса, сами испытали сжатие и несколько уменьшили свои размеры. Не смотря на это внешние слои их всё равно «догнали». Теперь лоренцева сжатия внутренних слоёв недостаточно, они не дают внешним продолжить собственное сжатие. Как варианты мы можем выделить три сценария дальнейшего развития событий, не принимая во внимание действие центробежных сил и тот факт, что для такой раскрутки потребуется бесконечно мощный двигатель.

Для обычного материала при взаимодействии слоёв-ободьев внутренние слои испытывают деформацию сжатия, а внешние – растяжения. Следовательно, более вероятен разрыв внешних ободьев, чем упругое уменьшение объёма внутренних. Это очевидно, поскольку материал их один и тот же.

Рис. 5. Лоренцева деформация диска из обычного твёрдого материала

Здесь и на последующих анимация раскраска полос сделана наподобие «тельняшки» – более светлые цвета чередуются с более тёмными. В этом случае при сжатии диска на его разрезе лучше видно, что они не пересекают друг друга, а как бы складываются в виде «гармошки». На анимации сжатия обычного твёрдого (хрупкого) диска в красный цвет перекрашиваются слои (ободья), которые приходят в тесное соприкосновение, с силой давят друг на друга. В этом случае их материал испытывает как усилие на сжатие (внутренние слои), так и усилие на растяжение (внешние слои). При некоторых усилиях внешние слои, что более вероятно, просто будут разорваны, и разлетятся в разные стороны. Как видно на анимации, условия для разрыва наступают после достижения предельной скорости 0,7 c.

Для абсолютно эластичного материала картина немного иная. Разрыв слоёв невозможен, но возможно их бесконечное сжатие. Следовательно, при скорости внешнего обода, близкой к скорости света, для внешнего наблюдателя колесо может превратиться в бесконечно малую точку.

Рис. 6. Лоренцева деформация диска из эластичного материала

Это в том случае, если на сжатие будет необходимо меньшее усилие, чем на растяжение. Иначе форма колеса при равенстве этих сил будет оставаться неизменной. После прекращения вращения колесо примет свои первоначальные размеры без каких бы то ни было повреждений. На анимации, как и выше, видно, что слои-ободья складываются в виде «гармошки», не пересекая друг друга. Правда, здесь следовало бы показать утолщение диска в зазоре между внешним ободом и осью. Диск, очевидно, должен при сжатии принять форму бублика. При достижении скорости внешнего обода, равной скорости света, диск сожмётся в точку (вернее, в тонкую трубочку, надетую на ось).

Для абсолютно твёрдого материала колеса, который не сжимается, не растягивается и не изгибается, картина также будет отличаться от предыдущих.

Рис. 7. Лоренцева деформация диска из абсолютно твёрдого материала

Внешние ободья не могут разорваться, а внутренние – сжаться. Поэтому, разрушения ни тех, ни других не будет, но будет стремительно возрастать сила их давления друг на друга после того, как будет достигнута предельная скорость вращения. За счёт каких источников возникает эта сила? Очевидно, что за счёт сил, приводящих колесо во вращение. Следовательно, внешний источник должен будет прикладывать всё большее и большее усилие вплоть до бесконечности. Понятно, что это невозможно, и мы приходим к выводу: при достижении внешним ободом абсолютно твёрдого колеса скорости √2/2 от скорости света дальнейшего увеличения этой скорости не будет. Приводной двигатель словно упрётся в стену. Это примерно то же самое, как бежать, например, за тракторной тележкой, прицепом. Можно бежать с любой скоростью, но при достижении тележки скорость будет сразу же ограничена её скоростью, скоростью трактора.

Итак, подведём итоги. Как видим, поведение раскручиваемого колеса имеет строго согласованные и непротиворечивые предсказания в специальной теории относительности для всех вариантов парадокса колеса.

Ошибочным является вариант парадокса Эренфеста – невозможность раскрутить абсолютно твёрдое тело:

Рассуждение Эренфеста показывает невозможность приведения абсолютно твёрдого тела (изначально покоившегося) во вращение

Это ошибочные выводы, не соответствующие предсказаниям специальной теории относительности. Кроме того, в работе Эренфеста, которую следует считать первой формулировкой парадокса, нет таких рассуждений. Считается, что само по себе абсолютно твёрдое тело по определению невозможно в специальной относительности, поскольку оно позволяет производить сверхсветовую передачу сигналов. Поэтому математика СТО к таким телам изначально неприменима. Тем не менее, такое тело, как мы показали, можно раскрутить до скорости более чем в две трети от скорости света. При этом никаких парадоксов СТО не возникает, поскольку для внешнего наблюдателя происходит релятивистское сжатие круга целиком, включая его спицы. Утверждение Эренфеста и других авторов о том, что продольно спицы не сжимаются – ошибочно. Действительно, поскольку ободья движутся без проскальзывания относительно друг друга, мы можем склеить их, рассматривая их как один сплошной диск. Если теперь на таком сплошном диске мы «нарисуем» спицы, то очевидно, они будут уменьшать свою длину, следуя за уменьшением диаметров ободьев. Также спицы можно выполнить как рифление на поверхности диска и даже сделав радиальные (или под углом) пропилы внутри него. Получившиеся спицы и пустые интервалы (пространство) между ними движутся как связанные друг с другом части ободьев, то есть, являются объектами, которые сокращается как единое целое. И материал спиц, и интервал между ними испытывают тангенциальное лоренцево сокращение в равной мере, что, соответственно, приводит и к такому же их радиальному сокращению.

Ошибочным является и оригинальный, распространённый в литературе, авторский вариант парадокса Эренфеста – раскручивание обычного тела: радиус колеса одновременно равен исходному и укороченному значению.

Ошибка заключена в утверждении от имени теории относительности, что радиус (спицы) колеса не испытывает лоренцева сокращения. Но специальная теория относительности не делает такого предсказания. Согласно её предсказаниям спицы испытывают такое же лоренцево сокращение, как и обод колеса. При этом в зависимости от материала колеса его часть, превышающая 0,7 от радиуса при раскручивании обода до световой скорости, будет либо разрушена, разорвана, если материал недостаточно эластичен, либо всё колесо целиком испытает лоренцево сжатие до бесконечно малого радиуса с точки зрения внешнего наблюдателя. Если остановить колесо до его разрушения и до достижения скорости 0,7 от скорости света, то оно примет для внешнего наблюдателя свою исходную форму без каких-либо повреждений. Упругое тело при достижении скорости выше 0,7 от скорости света может испытать некоторые деформации. Например, если в нём были вкрапления из хрупкого материала, то они будут разрушены. После остановки колеса разрушения не будут восстановлены.

Таким образом, следует признать, что ни одна из рассмотренных формулировок не позволяет говорить о парадоксе. Все виды парадокса колеса, Эренфеста являются мнимыми, псевдопарадоксами. Корректное и последовательное применение математики СТО позволяет для каждой описанной ситуации сделать непротиворечивые предсказания. Под парадоксом мы понимаем правильные предсказания, которые противоречат друг другу, но здесь этого нет.

После просмотра ряда источников (который нельзя, конечно, назвать исчерпывающим), выяснилось следующее. Изложенное решение парадокса Эренфеста (парадокса колеса) является, видимо, первым с момента его формулировки Эренфестом в 1909 году корректным решением парадокса в рамках специальной теории относительности. Впервые рассмотренное решение обнаружено в октябре 2015 года и 18.10.2015 данная статья направлена для публикации на сайте Международной ассоциации учёных, преподавателей и специалистов (Российской Академии Естествознания) в разделе Заочные электронные конференции.